Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 233 / 321
↖ ↑ ↗
← S 41.508577°
W 16.171875°		 ← 58.549 km → S 41.508577°
W 15.468750°		 →
↑
58.310 km
↓
↑
58.310 km
↓
S 42.032975°
W 16.171875°		 ← 58.072 km →
3 400.11 km²		 S 42.032975°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4560546875 y=0.6279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4560546875 × 29)
    floor (0.4560546875 × 512)
    floor (233.5)     		tx = 233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6279296875 × 29)
    floor (0.6279296875 × 512)
    floor (321.5)     		ty = 321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 233 / 321 ti = "9/233/321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/233/321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 233 ÷ 29
    233 ÷ 512     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 321 ÷ 29
    321 ÷ 512     		y = 0.626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626953125 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797670009677734))-π/2
    2×atan(0.450377116873829)-π/2
    2×0.423167492576542-π/2
    0.846334985153084-1.57079632675     		φ = -0.72446134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72446134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.508577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 233 KachelY 321 -0.28225246 -0.72446134 -16.171875 -41.508577
    Oben rechts KachelX + 1 234 KachelY 321 -0.26998062 -0.72446134 -15.468750 -41.508577
    Unten links KachelX 233 KachelY + 1 322 -0.28225246 -0.73361380 -16.171875 -42.032975
    Unten rechts KachelX + 1 234 KachelY + 1 322 -0.26998062 -0.73361380 -15.468750 -42.032975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72446134--0.73361380) × R
    0.00915246000000003 × 6371000     		dl = 58310.3226600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72446134--0.73361380) × R
    0.00915246000000003 × 6371000     		dr = 58310.3226600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.26998062) × cos(-0.72446134) × R
    0.01227184 × 0.748856517896165 × 6371000     		do = 58548.5175979579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.26998062) × cos(-0.73361380) × R
    0.01227184 × 0.74275960828728 × 6371000     		du = 58071.8374716611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72446134)-sin(-0.73361380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748856517896165-0.74275960828728)×R²
    abs(-0.26998062--0.28225246)×0.00609690960888476×R²
    0.01227184×0.00609690960888476×6371000²
    0.01227184×0.00609690960888476×40589641000000     		ar = 3400109001.34244m²