Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 233 / 248
↖ ↑ ↗
← N 79.432371°
W139.042969°		 ← 3 584.66 m → N 79.432371°
W138.867187°		 →
↑
3 590.06 m
↓
↑
3 590.06 m
↓
N 79.400084°
W139.042969°		 ← 3 595.49 m →
12 888 591 m²		 N 79.400084°
W138.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114013671875 y=0.121337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114013671875 × 211)
    floor (0.114013671875 × 2048)
    floor (233.5)     		tx = 233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121337890625 × 211)
    floor (0.121337890625 × 2048)
    floor (248.5)     		ty = 248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 233 / 248 ti = "11/233/248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/233/248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 233 ÷ 211
    233 ÷ 2048     		x = 0.11376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 248 ÷ 211
    248 ÷ 2048     		y = 0.12109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11376953125 × 2 - 1) × π
    -0.7724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42675761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12109375 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42675761} λ = -2.42675761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38073818273047))-π/2
    2×atan(10.8128818012243)-π/2
    2×1.4785763645972-π/2
    2.9571527291944-1.57079632675     		φ = 1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42675761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 233 KachelY 248 -2.42675761 1.38635640 -139.042969 79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 234 KachelY 248 -2.42368964 1.38635640 -138.867187 79.432371
    Unten links KachelX 233 KachelY + 1 249 -2.42675761 1.38579290 -139.042969 79.400084
    Unten rechts KachelX + 1 234 KachelY + 1 249 -2.42368964 1.38579290 -138.867187 79.400084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38635640-1.38579290) × R
    0.000563499999999939 × 6371000     		dl = 3590.05849999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38635640-1.38579290) × R
    0.000563499999999939 × 6371000     		dr = 3590.05849999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42675761--2.42368964) × cos(1.38635640) × R
    0.00306797000000003 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 3584.66475205701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42675761--2.42368964) × cos(1.38579290) × R
    0.00306797000000003 × 0.183949901847889 × 6371000     		du = 3595.49156375175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38635640)-sin(1.38579290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.183949901847889)×R²
    abs(-2.42368964--2.42675761)×0.000553913397725925×R²
    0.00306797000000003×0.000553913397725925×6371000²
    0.00306797000000003×0.000553913397725925×40589641000000     		ar = 12888590.9474895m²