Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 233 / 118
↖ ↑ ↗
← N 69.162558°
W 16.171875°		 ← 27.811 km → N 69.162558°
W 15.468750°		 →
↑
27.971 km
↓
↑
27.971 km
↓
N 68.911005°
W 16.171875°		 ← 28.132 km →
782.407 km²		 N 68.911005°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4560546875 y=0.2314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4560546875 × 29)
    floor (0.4560546875 × 512)
    floor (233.5)     		tx = 233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2314453125 × 29)
    floor (0.2314453125 × 512)
    floor (118.5)     		ty = 118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 233 / 118 ti = "9/233/118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/233/118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 233 ÷ 29
    233 ÷ 512     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118 ÷ 29
    118 ÷ 512     		y = 0.23046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23046875 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69351478977734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69351478977734))-π/2
    2×atan(5.43856255521356)-π/2
    2×1.38895534068768-π/2
    2.77791068137535-1.57079632675     		φ = 1.20711435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20711435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.162558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 233 KachelY 118 -0.28225246 1.20711435 -16.171875 69.162558
    Oben rechts KachelX + 1 234 KachelY 118 -0.26998062 1.20711435 -15.468750 69.162558
    Unten links KachelX 233 KachelY + 1 119 -0.28225246 1.20272393 -16.171875 68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 234 KachelY + 1 119 -0.26998062 1.20272393 -15.468750 68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20711435-1.20272393) × R
    0.00439041999999978 × 6371000     		dl = 27971.3658199986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20711435-1.20272393) × R
    0.00439041999999978 × 6371000     		dr = 27971.3658199986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.26998062) × cos(1.20711435) × R
    0.01227184 × 0.355717787996262 × 6371000     		do = 27811.401346838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.26998062) × cos(1.20272393) × R
    0.01227184 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 28131.9409273395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20711435)-sin(1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355717787996262-0.359817604079576)×R²
    abs(-0.26998062--0.28225246)×0.0040998160833135×R²
    0.01227184×0.0040998160833135×6371000²
    0.01227184×0.0040998160833135×40589641000000     		ar = 782407102.765378m²