Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 233 / 107
↖ ↑ ↗
← N 71.746432°
W 16.171875°		 ← 24.489 km → N 71.746432°
W 15.468750°		 →
↑
24.632 km
↓
↑
24.632 km
↓
N 71.524909°
W 16.171875°		 ← 24.776 km →
606.752 km²		 N 71.524909°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4560546875 y=0.2099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4560546875 × 29)
    floor (0.4560546875 × 512)
    floor (233.5)     		tx = 233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2099609375 × 29)
    floor (0.2099609375 × 512)
    floor (107.5)     		ty = 107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 233 / 107 ti = "9/233/107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/233/107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 233 ÷ 29
    233 ÷ 512     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 107 ÷ 29
    107 ÷ 512     		y = 0.208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208984375 × 2 - 1) × π
    0.58203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82850509910742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82850509910742))-π/2
    2×atan(6.22457457784768)-π/2
    2×1.41150389341655-π/2
    2.8230077868331-1.57079632675     		φ = 1.25221146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25221146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.746432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 233 KachelY 107 -0.28225246 1.25221146 -16.171875 71.746432
    Oben rechts KachelX + 1 234 KachelY 107 -0.26998062 1.25221146 -15.468750 71.746432
    Unten links KachelX 233 KachelY + 1 108 -0.28225246 1.24834516 -16.171875 71.524909
    Unten rechts KachelX + 1 234 KachelY + 1 108 -0.26998062 1.24834516 -15.468750 71.524909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25221146-1.24834516) × R
    0.0038663000000001 × 6371000     		dl = 24632.1973000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25221146-1.24834516) × R
    0.0038663000000001 × 6371000     		dr = 24632.1973000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.26998062) × cos(1.25221146) × R
    0.01227184 × 0.313222951529119 × 6371000     		do = 24488.9896147365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.26998062) × cos(1.24834516) × R
    0.01227184 × 0.316892347631675 × 6371000     		du = 24775.8772856724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25221146)-sin(1.24834516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313222951529119-0.316892347631675)×R²
    abs(-0.26998062--0.28225246)×0.00366939610255551×R²
    0.01227184×0.00366939610255551×6371000²
    0.01227184×0.00366939610255551×40589641000000     		ar = 606751716.549067m²