Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 233 / 103
↖ ↑ ↗
← N 80.703997°
W 98.085938°		 ← 6 314.72 m → N 80.703997°
W 97.734375°		 →
↑
6 333.86 m
↓
↑
6 333.86 m
↓
N 80.647035°
W 98.085938°		 ← 6 353.07 m →
40 117 971 m²		 N 80.647035°
W 97.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22802734375 y=0.10107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22802734375 × 210)
    floor (0.22802734375 × 1024)
    floor (233.5)     		tx = 233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10107421875 × 210)
    floor (0.10107421875 × 1024)
    floor (103.5)     		ty = 103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 233 / 103 ti = "10/233/103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/233/103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 233 ÷ 210
    233 ÷ 1024     		x = 0.2275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103 ÷ 210
    103 ÷ 1024     		y = 0.1005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1005859375 × 2 - 1) × π
    0.798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50959256890918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71192256} λ = -1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50959256890918))-π/2
    2×atan(12.2999176706045)-π/2
    2×1.48967339408107-π/2
    2.97934678816213-1.57079632675     		φ = 1.40855046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40855046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.703997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 233 KachelY 103 -1.71192256 1.40855046 -98.085938 80.703997
    Oben rechts KachelX + 1 234 KachelY 103 -1.70578664 1.40855046 -97.734375 80.703997
    Unten links KachelX 233 KachelY + 1 104 -1.71192256 1.40755629 -98.085938 80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 234 KachelY + 1 104 -1.70578664 1.40755629 -97.734375 80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40855046-1.40755629) × R
    0.000994170000000016 × 6371000     		dl = 6333.8570700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40855046-1.40755629) × R
    0.000994170000000016 × 6371000     		dr = 6333.8570700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71192256--1.70578664) × cos(1.40855046) × R
    0.00613592000000018 × 0.161534983931327 × 6371000     		do = 6314.71692064568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71192256--1.70578664) × cos(1.40755629) × R
    0.00613592000000018 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 6353.06743198287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40855046)-sin(1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161534983931327-0.162516017493157)×R²
    abs(-1.70578664--1.71192256)×0.000981033561830325×R²
    0.00613592000000018×0.000981033561830325×6371000²
    0.00613592000000018×0.000981033561830325×40589641000000     		ar = 40117971.0458575m²