Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23298 / 27905
↖ ↑ ↗
← N 25.794946°
W 52.020264°		 ← 549.93 m → N 25.794946°
W 52.014771°		 →
↑
549.94 m
↓
↑
549.94 m
↓
N 25.790000°
W 52.020264°		 ← 549.95 m →
302 436 m²		 N 25.790000°
W 52.014771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355506896972656 y=0.425804138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355506896972656 × 216)
    floor (0.355506896972656 × 65536)
    floor (23298.5)     		tx = 23298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425804138183594 × 216)
    floor (0.425804138183594 × 65536)
    floor (27905.5)     		ty = 27905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23298 / 27905 ti = "16/23298/27905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23298/27905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23298 ÷ 216
    23298 ÷ 65536     		x = 0.355499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27905 ÷ 216
    27905 ÷ 65536     		y = 0.425796508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.28900146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.90792488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425796508789062 × 2 - 1) × π
    0.148406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.466234285704666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90792488} λ = -0.90792488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466234285704666))-π/2
    2×atan(1.59398040242708)-π/2
    2×1.0105015278527-π/2
    2.0210030557054-1.57079632675     		φ = 0.45020673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90792488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45020673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.794946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23298 KachelY 27905 -0.90792488 0.45020673 -52.020264 25.794946
    Oben rechts KachelX + 1 23299 KachelY 27905 -0.90782901 0.45020673 -52.014771 25.794946
    Unten links KachelX 23298 KachelY + 1 27906 -0.90792488 0.45012041 -52.020264 25.790000
    Unten rechts KachelX + 1 23299 KachelY + 1 27906 -0.90782901 0.45012041 -52.014771 25.790000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45020673-0.45012041) × R
    8.63199999999731e-05 × 6371000     		dl = 549.944719999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45020673-0.45012041) × R
    8.63199999999731e-05 × 6371000     		dr = 549.944719999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90792488--0.90782901) × cos(0.45020673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900357162687115 × 6371000     		do = 549.927143601178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90792488--0.90782901) × cos(0.45012041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900394721625244 × 6371000     		du = 549.950084141242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45020673)-sin(0.45012041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900357162687115-0.900394721625244)×R²
    abs(-0.90782901--0.90792488)×3.75589381295116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75589381295116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75589381295116e-05×40589641000000     		ar = 302435.837210314m²