Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23296 / 27904
↖ ↑ ↗
← N 25.799891°
W 52.031250°		 ← 549.96 m → N 25.799891°
W 52.025757°		 →
↑
549.94 m
↓
↑
549.94 m
↓
N 25.794946°
W 52.031250°		 ← 549.98 m →
302 455 m²		 N 25.794946°
W 52.025757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355476379394531 y=0.425788879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355476379394531 × 216)
    floor (0.355476379394531 × 65536)
    floor (23296.5)     		tx = 23296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425788879394531 × 216)
    floor (0.425788879394531 × 65536)
    floor (27904.5)     		ty = 27904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23296 / 27904 ti = "16/23296/27904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23296/27904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23296 ÷ 216
    23296 ÷ 65536     		x = 0.35546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27904 ÷ 216
    27904 ÷ 65536     		y = 0.42578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35546875 × 2 - 1) × π
    -0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42578125 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90811663} λ = -0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466330159503906))-π/2
    2×atan(1.59413323071017)-π/2
    2×1.01054468728329-π/2
    2.02108937456659-1.57079632675     		φ = 0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23296 KachelY 27904 -0.90811663 0.45029305 -52.031250 25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 23297 KachelY 27904 -0.90802075 0.45029305 -52.025757 25.799891
    Unten links KachelX 23296 KachelY + 1 27905 -0.90811663 0.45020673 -52.031250 25.794946
    Unten rechts KachelX + 1 23297 KachelY + 1 27905 -0.90802075 0.45020673 -52.025757 25.794946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45029305-0.45020673) × R
    8.63199999999731e-05 × 6371000     		dl = 549.944719999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45029305-0.45020673) × R
    8.63199999999731e-05 × 6371000     		dr = 549.944719999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90811663--0.90802075) × cos(0.45029305) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 549.961558324708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90811663--0.90802075) × cos(0.45020673) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.900357162687115 × 6371000     		du = 549.984505355664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45029305)-sin(0.45020673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.900357162687115)×R²
    abs(-0.90802075--0.90811663)×3.75656468187824e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.75656468187824e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.75656468187824e-05×40589641000000     		ar = 302454.765190634m²