Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2329 / 2390
↖ ↑ ↗
← S 28.767659°
E 24.697266°		 ← 8 566.79 m → S 28.767659°
E 24.785156°		 →
↑
8 563.64 m
↓
↑
8 563.64 m
↓
S 28.844674°
E 24.697266°		 ← 8 560.46 m →
73 335 839 m²		 S 28.844674°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5687255859375 y=0.5836181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5687255859375 × 212)
    floor (0.5687255859375 × 4096)
    floor (2329.5)     		tx = 2329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5836181640625 × 212)
    floor (0.5836181640625 × 4096)
    floor (2390.5)     		ty = 2390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2329 / 2390 ti = "12/2329/2390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2329/2390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2329 ÷ 212
    2329 ÷ 4096     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2390 ÷ 212
    2390 ÷ 4096     		y = 0.58349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524621429441894))-π/2
    2×atan(0.591779352206179)-π/2
    2×0.534352978661201-π/2
    1.0687059573224-1.57079632675     		φ = -0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2329 KachelY 2390 0.43104860 -0.50209037 24.697266 -28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 2330 KachelY 2390 0.43258258 -0.50209037 24.785156 -28.767659
    Unten links KachelX 2329 KachelY + 1 2391 0.43104860 -0.50343453 24.697266 -28.844674
    Unten rechts KachelX + 1 2330 KachelY + 1 2391 0.43258258 -0.50343453 24.785156 -28.844674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50209037--0.50343453) × R
    0.00134416000000004 × 6371000     		dl = 8563.64336000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50209037--0.50343453) × R
    0.00134416000000004 × 6371000     		dr = 8563.64336000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43258258) × cos(-0.50209037) × R
    0.00153397999999999 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 8566.78960891765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43258258) × cos(-0.50343453) × R
    0.00153397999999999 × 0.875930787757238 × 6371000     		du = 8560.45983376026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50209037)-sin(-0.50343453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.875930787757238)×R²
    abs(0.43258258-0.43104860)×0.000647680737671297×R²
    0.00153397999999999×0.000647680737671297×6371000²
    0.00153397999999999×0.000647680737671297×40589641000000     		ar = 73335839.0241546m²