Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2329 / 1929
↖ ↑ ↗
← N 10.401378°
E 24.697266°		 ← 9 612.39 m → N 10.401378°
E 24.785156°		 →
↑
9 613.78 m
↓
↑
9 613.78 m
↓
N 10.314919°
E 24.697266°		 ← 9 615.04 m →
92 424 105 m²		 N 10.314919°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5687255859375 y=0.4710693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5687255859375 × 212)
    floor (0.5687255859375 × 4096)
    floor (2329.5)     		tx = 2329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4710693359375 × 212)
    floor (0.4710693359375 × 4096)
    floor (1929.5)     		ty = 1929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2329 / 1929 ti = "12/2329/1929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2329/1929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2329 ÷ 212
    2329 ÷ 4096     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1929 ÷ 212
    1929 ÷ 4096     		y = 0.470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470947265625 × 2 - 1) × π
    0.05810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.182543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.182543713753174))-π/2
    2×atan(1.20026661796548)-π/2
    2×0.876167305929793-π/2
    1.75233461185959-1.57079632675     		φ = 0.18153829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18153829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.401378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2329 KachelY 1929 0.43104860 0.18153829 24.697266 10.401378
    Oben rechts KachelX + 1 2330 KachelY 1929 0.43258258 0.18153829 24.785156 10.401378
    Unten links KachelX 2329 KachelY + 1 1930 0.43104860 0.18002930 24.697266 10.314919
    Unten rechts KachelX + 1 2330 KachelY + 1 1930 0.43258258 0.18002930 24.785156 10.314919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18153829-0.18002930) × R
    0.00150898999999999 × 6371000     		dl = 9613.77528999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18153829-0.18002930) × R
    0.00150898999999999 × 6371000     		dr = 9613.77528999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43258258) × cos(0.18153829) × R
    0.00153397999999999 × 0.983567129442025 × 6371000     		do = 9612.38835656597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43258258) × cos(0.18002930) × R
    0.00153397999999999 × 0.983838446799311 × 6371000     		du = 9615.03993745765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18153829)-sin(0.18002930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983567129442025-0.983838446799311)×R²
    abs(0.43258258-0.43104860)×0.000271317357285805×R²
    0.00153397999999999×0.000271317357285805×6371000²
    0.00153397999999999×0.000271317357285805×40589641000000     		ar = 92424105.0495316m²