Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23289 / 27377
↖ ↑ ↗
← N 28.376902°
W 52.069702°		 ← 537.40 m → N 28.376902°
W 52.064209°		 →
↑
537.39 m
↓
↑
537.39 m
↓
N 28.372069°
W 52.069702°		 ← 537.42 m →
288 800 m²		 N 28.372069°
W 52.064209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355369567871094 y=0.417747497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355369567871094 × 216)
    floor (0.355369567871094 × 65536)
    floor (23289.5)     		tx = 23289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417747497558594 × 216)
    floor (0.417747497558594 × 65536)
    floor (27377.5)     		ty = 27377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23289 / 27377 ti = "16/23289/27377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23289/27377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23289 ÷ 216
    23289 ÷ 65536     		x = 0.355361938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27377 ÷ 216
    27377 ÷ 65536     		y = 0.417739868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355361938476562 × 2 - 1) × π
    -0.289276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.90878774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417739868164062 × 2 - 1) × π
    0.164520263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.516855651703445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90878774} λ = -0.90878774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516855651703445))-π/2
    2×atan(1.67674707525714)-π/2
    2×1.03303334950497-π/2
    2.06606669900994-1.57079632675     		φ = 0.49527037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90878774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.069702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49527037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.376902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23289 KachelY 27377 -0.90878774 0.49527037 -52.069702 28.376902
    Oben rechts KachelX + 1 23290 KachelY 27377 -0.90869187 0.49527037 -52.064209 28.376902
    Unten links KachelX 23289 KachelY + 1 27378 -0.90878774 0.49518602 -52.069702 28.372069
    Unten rechts KachelX + 1 23290 KachelY + 1 27378 -0.90869187 0.49518602 -52.064209 28.372069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49527037-0.49518602) × R
    8.43500000000108e-05 × 6371000     		dl = 537.393850000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49527037-0.49518602) × R
    8.43500000000108e-05 × 6371000     		dr = 537.393850000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90878774--0.90869187) × cos(0.49527037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879840243367386 × 6371000     		do = 537.395660202611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90878774--0.90869187) × cos(0.49518602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879880329223972 × 6371000     		du = 537.420144153564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49527037)-sin(0.49518602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879840243367386-0.879880329223972)×R²
    abs(-0.90869187--0.90878774)×4.00858565856588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00858565856588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00858565856588e-05×40589641000000     		ar = 288799.701743361m²