Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2328 / 2435
↖ ↑ ↗
← S 32.175613°
E 24.609375°		 ← 8 272.05 m → S 32.175613°
E 24.697266°		 →
↑
8 268.67 m
↓
↑
8 268.67 m
↓
S 32.249975°
E 24.609375°		 ← 8 265.29 m →
68 370 878 m²		 S 32.249975°
E 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5684814453125 y=0.5946044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5684814453125 × 212)
    floor (0.5684814453125 × 4096)
    floor (2328.5)     		tx = 2328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5946044921875 × 212)
    floor (0.5946044921875 × 4096)
    floor (2435.5)     		ty = 2435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2328 / 2435 ti = "12/2328/2435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2328/2435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2328 ÷ 212
    2328 ÷ 4096     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2435 ÷ 212
    2435 ÷ 4096     		y = 0.594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.18896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.593650564894775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.593650564894775))-π/2
    2×atan(0.552307366173757)-π/2
    2×0.504612975106836-π/2
    1.00922595021367-1.57079632675     		φ = -0.56157038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56157038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.175613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2328 KachelY 2435 0.42951462 -0.56157038 24.609375 -32.175613
    Oben rechts KachelX + 1 2329 KachelY 2435 0.43104860 -0.56157038 24.697266 -32.175613
    Unten links KachelX 2328 KachelY + 1 2436 0.42951462 -0.56286824 24.609375 -32.249975
    Unten rechts KachelX + 1 2329 KachelY + 1 2436 0.43104860 -0.56286824 24.697266 -32.249975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56157038--0.56286824) × R
    0.00129785999999998 × 6371000     		dl = 8268.6660599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56157038--0.56286824) × R
    0.00129785999999998 × 6371000     		dr = 8268.6660599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43104860) × cos(-0.56157038) × R
    0.00153397999999999 × 0.846419902469899 × 6371000     		do = 8272.05034788318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43104860) × cos(-0.56286824) × R
    0.00153397999999999 × 0.845728058505028 × 6371000     		du = 8265.28896609904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56157038)-sin(-0.56286824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846419902469899-0.845728058505028)×R²
    abs(0.43104860-0.42951462)×0.000691843964871208×R²
    0.00153397999999999×0.000691843964871208×6371000²
    0.00153397999999999×0.000691843964871208×40589641000000     		ar = 68370877.751336m²