Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2328 / 1688
↖ ↑ ↗
← N 30.145127°
E 24.609375°		 ← 8 451.25 m → N 30.145127°
E 24.697266°		 →
↑
8 454.51 m
↓
↑
8 454.51 m
↓
N 30.069094°
E 24.609375°		 ← 8 457.76 m →
71 478 675 m²		 N 30.069094°
E 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5684814453125 y=0.4122314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5684814453125 × 212)
    floor (0.5684814453125 × 4096)
    floor (2328.5)     		tx = 2328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4122314453125 × 212)
    floor (0.4122314453125 × 4096)
    floor (1688.5)     		ty = 1688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2328 / 1688 ti = "12/2328/1688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2328/1688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2328 ÷ 212
    2328 ÷ 4096     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1688 ÷ 212
    1688 ÷ 4096     		y = 0.412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412109375 × 2 - 1) × π
    0.17578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552233083623047))-π/2
    2×atan(1.73712784158869)-π/2
    2×1.0484640247818-π/2
    2.0969280495636-1.57079632675     		φ = 0.52613172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52613172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.145127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2328 KachelY 1688 0.42951462 0.52613172 24.609375 30.145127
    Oben rechts KachelX + 1 2329 KachelY 1688 0.43104860 0.52613172 24.697266 30.145127
    Unten links KachelX 2328 KachelY + 1 1689 0.42951462 0.52480469 24.609375 30.069094
    Unten rechts KachelX + 1 2329 KachelY + 1 1689 0.43104860 0.52480469 24.697266 30.069094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52613172-0.52480469) × R
    0.00132703000000001 × 6371000     		dl = 8454.50813000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52613172-0.52480469) × R
    0.00132703000000001 × 6371000     		dr = 8454.50813000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43104860) × cos(0.52613172) × R
    0.00153397999999999 × 0.864756154813241 × 6371000     		do = 8451.25029596215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43104860) × cos(0.52480469) × R
    0.00153397999999999 × 0.86542181702994 × 6371000     		du = 8457.75580387277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52613172)-sin(0.52480469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864756154813241-0.86542181702994)×R²
    abs(0.43104860-0.42951462)×0.000665662216698837×R²
    0.00153397999999999×0.000665662216698837×6371000²
    0.00153397999999999×0.000665662216698837×40589641000000     		ar = 71478675.2601862m²