Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2327 / 2423
↖ ↑ ↗
← S 31.278551°
E 24.521484°		 ← 8 352.51 m → S 31.278551°
E 24.609375°		 →
↑
8 349.20 m
↓
↑
8 349.20 m
↓
S 31.353637°
E 24.521484°		 ← 8 345.86 m →
69 708 999 m²		 S 31.353637°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5682373046875 y=0.5916748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5682373046875 × 212)
    floor (0.5682373046875 × 4096)
    floor (2327.5)     		tx = 2327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5916748046875 × 212)
    floor (0.5916748046875 × 4096)
    floor (2423.5)     		ty = 2423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2327 / 2423 ti = "12/2327/2423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2327/2423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2327 ÷ 212
    2327 ÷ 4096     		x = 0.568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2423 ÷ 212
    2423 ÷ 4096     		y = 0.591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.18310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42798064} λ = 0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575242795440674))-π/2
    2×atan(0.562568263214643)-π/2
    2×0.512441314533916-π/2
    1.02488262906783-1.57079632675     		φ = -0.54591370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54591370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.278551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2327 KachelY 2423 0.42798064 -0.54591370 24.521484 -31.278551
    Oben rechts KachelX + 1 2328 KachelY 2423 0.42951462 -0.54591370 24.609375 -31.278551
    Unten links KachelX 2327 KachelY + 1 2424 0.42798064 -0.54722420 24.521484 -31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 2328 KachelY + 1 2424 0.42951462 -0.54722420 24.609375 -31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54591370--0.54722420) × R
    0.0013105000000001 × 6371000     		dl = 8349.19550000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54591370--0.54722420) × R
    0.0013105000000001 × 6371000     		dr = 8349.19550000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42798064-0.42951462) × cos(-0.54591370) × R
    0.00153397999999999 × 0.854653255286648 × 6371000     		do = 8352.51479446967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42798064-0.42951462) × cos(-0.54722420) × R
    0.00153397999999999 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 8345.85798078844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54591370)-sin(-0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854653255286648-0.853972111029799)×R²
    abs(0.42951462-0.42798064)×0.000681144256849731×R²
    0.00153397999999999×0.000681144256849731×6371000²
    0.00153397999999999×0.000681144256849731×40589641000000     		ar = 69708999.392837m²