Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2327 / 1676
↖ ↑ ↗
← N 31.052934°
E 24.521484°		 ← 8 372.43 m → N 31.052934°
E 24.609375°		 →
↑
8 375.76 m
↓
↑
8 375.76 m
↓
N 30.977609°
E 24.521484°		 ← 8 379.05 m →
70 153 227 m²		 N 30.977609°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5682373046875 y=0.4093017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5682373046875 × 212)
    floor (0.5682373046875 × 4096)
    floor (2327.5)     		tx = 2327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4093017578125 × 212)
    floor (0.4093017578125 × 4096)
    floor (1676.5)     		ty = 1676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2327 / 1676 ti = "12/2327/1676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2327/1676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2327 ÷ 212
    2327 ÷ 4096     		x = 0.568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1676 ÷ 212
    1676 ÷ 4096     		y = 0.4091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4091796875 × 2 - 1) × π
    0.181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.570640853077148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42798064} λ = 0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.570640853077148))-π/2
    2×atan(1.7694006139996)-π/2
    2×1.05638613361796-π/2
    2.11277226723592-1.57079632675     		φ = 0.54197594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54197594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.052934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2327 KachelY 1676 0.42798064 0.54197594 24.521484 31.052934
    Oben rechts KachelX + 1 2328 KachelY 1676 0.42951462 0.54197594 24.609375 31.052934
    Unten links KachelX 2327 KachelY + 1 1677 0.42798064 0.54066127 24.521484 30.977609
    Unten rechts KachelX + 1 2328 KachelY + 1 1677 0.42951462 0.54066127 24.609375 30.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54197594-0.54066127) × R
    0.00131467000000007 × 6371000     		dl = 8375.76257000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54197594-0.54066127) × R
    0.00131467000000007 × 6371000     		dr = 8375.76257000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42798064-0.42951462) × cos(0.54197594) × R
    0.00153397999999999 × 0.856691105761415 × 6371000     		do = 8372.43067981162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42798064-0.42951462) × cos(0.54066127) × R
    0.00153397999999999 × 0.857368511152834 × 6371000     		du = 8379.05095361118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54197594)-sin(0.54066127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856691105761415-0.857368511152834)×R²
    abs(0.42951462-0.42798064)×0.000677405391419583×R²
    0.00153397999999999×0.000677405391419583×6371000²
    0.00153397999999999×0.000677405391419583×40589641000000     		ar = 70153226.5327848m²