Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2326 / 2398
↖ ↑ ↗
← S 29.382175°
E 24.433594°		 ← 8 515.85 m → S 29.382175°
E 24.521484°		 →
↑
8 512.61 m
↓
↑
8 512.61 m
↓
S 29.458731°
E 24.433594°		 ← 8 509.44 m →
72 464 859 m²		 S 29.458731°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5679931640625 y=0.5855712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5679931640625 × 212)
    floor (0.5679931640625 × 4096)
    floor (2326.5)     		tx = 2326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5855712890625 × 212)
    floor (0.5855712890625 × 4096)
    floor (2398.5)     		ty = 2398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2326 / 2398 ti = "12/2326/2398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2326/2398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2326 ÷ 212
    2326 ÷ 4096     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2398 ÷ 212
    2398 ÷ 4096     		y = 0.58544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58544921875 × 2 - 1) × π
    -0.1708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536893275744629))-π/2
    2×atan(0.584561505685016)-π/2
    2×0.528990315174785-π/2
    1.05798063034957-1.57079632675     		φ = -0.51281570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51281570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.382175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2326 KachelY 2398 0.42644666 -0.51281570 24.433594 -29.382175
    Oben rechts KachelX + 1 2327 KachelY 2398 0.42798064 -0.51281570 24.521484 -29.382175
    Unten links KachelX 2326 KachelY + 1 2399 0.42644666 -0.51415185 24.433594 -29.458731
    Unten rechts KachelX + 1 2327 KachelY + 1 2399 0.42798064 -0.51415185 24.521484 -29.458731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51281570--0.51415185) × R
    0.00133614999999998 × 6371000     		dl = 8512.61164999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51281570--0.51415185) × R
    0.00133614999999998 × 6371000     		dr = 8512.61164999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42798064) × cos(-0.51281570) × R
    0.00153398000000005 × 0.871366489158399 × 6371000     		do = 8515.853004807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42798064) × cos(-0.51415185) × R
    0.00153398000000005 × 0.87071015265401 × 6371000     		du = 8509.43863695764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51281570)-sin(-0.51415185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871366489158399-0.87071015265401)×R²
    abs(0.42798064-0.42644666)×0.000656336504389343×R²
    0.00153398000000005×0.000656336504389343×6371000²
    0.00153398000000005×0.000656336504389343×40589641000000     		ar = 72464858.7681039m²