Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2326 / 1675
↖ ↑ ↗
← N 31.128199°
E 24.433594°		 ← 8 365.80 m → N 31.128199°
E 24.521484°		 →
↑
8 369.14 m
↓
↑
8 369.14 m
↓
N 31.052934°
E 24.433594°		 ← 8 372.43 m →
70 042 286 m²		 N 31.052934°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5679931640625 y=0.4090576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5679931640625 × 212)
    floor (0.5679931640625 × 4096)
    floor (2326.5)     		tx = 2326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4090576171875 × 212)
    floor (0.4090576171875 × 4096)
    floor (1675.5)     		ty = 1675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2326 / 1675 ti = "12/2326/1675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2326/1675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2326 ÷ 212
    2326 ÷ 4096     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1675 ÷ 212
    1675 ÷ 4096     		y = 0.408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408935546875 × 2 - 1) × π
    0.18212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.57217483386499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57217483386499))-π/2
    2×atan(1.77211692339804)-π/2
    2×1.0570429473837-π/2
    2.11408589476739-1.57079632675     		φ = 0.54328957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54328957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.128199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2326 KachelY 1675 0.42644666 0.54328957 24.433594 31.128199
    Oben rechts KachelX + 1 2327 KachelY 1675 0.42798064 0.54328957 24.521484 31.128199
    Unten links KachelX 2326 KachelY + 1 1676 0.42644666 0.54197594 24.433594 31.052934
    Unten rechts KachelX + 1 2327 KachelY + 1 1676 0.42798064 0.54197594 24.521484 31.052934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54328957-0.54197594) × R
    0.00131362999999995 × 6371000     		dl = 8369.13672999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54328957-0.54197594) × R
    0.00131362999999995 × 6371000     		dr = 8369.13672999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42798064) × cos(0.54328957) × R
    0.00153398000000005 × 0.856012757335308 × 6371000     		do = 8365.80118974702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42798064) × cos(0.54197594) × R
    0.00153398000000005 × 0.856691105761415 × 6371000     		du = 8372.43067981192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54328957)-sin(0.54197594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856012757335308-0.856691105761415)×R²
    abs(0.42798064-0.42644666)×0.000678348426106368×R²
    0.00153398000000005×0.000678348426106368×6371000²
    0.00153398000000005×0.000678348426106368×40589641000000     		ar = 70042285.6396095m²