Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2325 / 1681
N 30.675715°
E 24.345703°
← 8 405.44 m → N 30.675715°
E 24.433594°

8 408.70 m

8 408.70 m
N 30.600094°
E 24.345703°
← 8 412.01 m →
70 706 465 m²
N 30.600094°
E 24.433594°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5677490234375 y=0.4105224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5677490234375 × 212)
    floor (0.5677490234375 × 4096)
    floor (2325.5)
    tx = 2325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4105224609375 × 212)
    floor (0.4105224609375 × 4096)
    floor (1681.5)
    ty = 1681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2325 / 1681 ti = "12/2325/1681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2325/1681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2325 ÷ 212
    2325 ÷ 4096
    x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1681 ÷ 212
    1681 ÷ 4096
    y = 0.410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535
    Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.410400390625 × 2 - 1) × π
    0.17919921875 × 3.1415926535
    Φ = 0.562970949137939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562970949137939))-π/2
    2×atan(1.75588139309809)-π/2
    2×1.05309428049426-π/2
    2.10618856098853-1.57079632675
    φ = 0.53539223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53539223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.675715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2325 KachelY 1681 0.42491268 0.53539223 24.345703 30.675715
    Oben rechts KachelX + 1 2326 KachelY 1681 0.42644666 0.53539223 24.433594 30.675715
    Unten links KachelX 2325 KachelY + 1 1682 0.42491268 0.53407239 24.345703 30.600094
    Unten rechts KachelX + 1 2326 KachelY + 1 1682 0.42644666 0.53407239 24.433594 30.600094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.53539223-0.53407239) × R
    0.00131984000000007 × 6371000
    dl = 8408.70064000046m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.53539223-0.53407239) × R
    0.00131984000000007 × 6371000
    dr = 8408.70064000046m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42644666) × cos(0.53539223) × R
    0.00153397999999999 × 0.860068588155245 × 6371000
    do = 8405.4387699207m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42644666) × cos(0.53407239) × R
    0.00153397999999999 × 0.860741192740037 × 6371000
    du = 8412.01212550152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.53539223)-sin(0.53407239))×
    abs(λ12)×abs(0.860068588155245-0.860741192740037)×
    abs(0.42644666-0.42491268)×0.000672604584791681×
    0.00153397999999999×0.000672604584791681×6371000²
    0.00153397999999999×0.000672604584791681×40589641000000
    ar = 70706465.317846m²