Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2325 / 1677
↖ ↑ ↗
← N 30.977609°
E 24.345703°		 ← 8 379.05 m → N 30.977609°
E 24.433594°		 →
↑
8 382.32 m
↓
↑
8 382.32 m
↓
N 30.902225°
E 24.345703°		 ← 8 385.66 m →
70 263 644 m²		 N 30.902225°
E 24.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5677490234375 y=0.4095458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5677490234375 × 212)
    floor (0.5677490234375 × 4096)
    floor (2325.5)     		tx = 2325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4095458984375 × 212)
    floor (0.4095458984375 × 4096)
    floor (1677.5)     		ty = 1677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2325 / 1677 ti = "12/2325/1677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2325/1677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2325 ÷ 212
    2325 ÷ 4096     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1677 ÷ 212
    1677 ÷ 4096     		y = 0.409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409423828125 × 2 - 1) × π
    0.18115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.569106872289307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569106872289307))-π/2
    2×atan(1.76668846817335)-π/2
    2×1.05572879992781-π/2
    2.11145759985562-1.57079632675     		φ = 0.54066127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54066127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.977609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2325 KachelY 1677 0.42491268 0.54066127 24.345703 30.977609
    Oben rechts KachelX + 1 2326 KachelY 1677 0.42644666 0.54066127 24.433594 30.977609
    Unten links KachelX 2325 KachelY + 1 1678 0.42491268 0.53934557 24.345703 30.902225
    Unten rechts KachelX + 1 2326 KachelY + 1 1678 0.42644666 0.53934557 24.433594 30.902225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54066127-0.53934557) × R
    0.00131569999999992 × 6371000     		dl = 8382.32469999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54066127-0.53934557) × R
    0.00131569999999992 × 6371000     		dr = 8382.32469999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42644666) × cos(0.54066127) × R
    0.00153397999999999 × 0.857368511152834 × 6371000     		do = 8379.05095361118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42644666) × cos(0.53934557) × R
    0.00153397999999999 × 0.858044963687684 × 6371000     		du = 8385.66191515627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54066127)-sin(0.53934557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857368511152834-0.858044963687684)×R²
    abs(0.42644666-0.42491268)×0.000676452534849603×R²
    0.00153397999999999×0.000676452534849603×6371000²
    0.00153397999999999×0.000676452534849603×40589641000000     		ar = 70263643.5200604m²