Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2324 / 1689
↖ ↑ ↗
← N 30.069094°
E 24.257813°		 ← 8 457.76 m → N 30.069094°
E 24.345703°		 →
↑
8 461.01 m
↓
↑
8 461.01 m
↓
N 29.993002°
E 24.257813°		 ← 8 464.25 m →
71 588 617 m²		 N 29.993002°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5675048828125 y=0.4124755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5675048828125 × 212)
    floor (0.5675048828125 × 4096)
    floor (2324.5)     		tx = 2324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4124755859375 × 212)
    floor (0.4124755859375 × 4096)
    floor (1689.5)     		ty = 1689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2324 / 1689 ti = "12/2324/1689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2324/1689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2324 ÷ 212
    2324 ÷ 4096     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1689 ÷ 212
    1689 ÷ 4096     		y = 0.412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    0.17529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.550699102835205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550699102835205))-π/2
    2×atan(1.73446516362421)-π/2
    2×1.04780050977614-π/2
    2.09560101955229-1.57079632675     		φ = 0.52480469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52480469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.069094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2324 KachelY 1689 0.42337870 0.52480469 24.257813 30.069094
    Oben rechts KachelX + 1 2325 KachelY 1689 0.42491268 0.52480469 24.345703 30.069094
    Unten links KachelX 2324 KachelY + 1 1690 0.42337870 0.52347664 24.257813 29.993002
    Unten rechts KachelX + 1 2325 KachelY + 1 1690 0.42491268 0.52347664 24.345703 29.993002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52480469-0.52347664) × R
    0.00132804999999991 × 6371000     		dl = 8461.00654999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52480469-0.52347664) × R
    0.00132804999999991 × 6371000     		dr = 8461.00654999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42491268) × cos(0.52480469) × R
    0.00153397999999999 × 0.86542181702994 × 6371000     		do = 8457.75580387277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42491268) × cos(0.52347664) × R
    0.00153397999999999 × 0.866086465124141 × 6371000     		du = 8464.25140077781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52480469)-sin(0.52347664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86542181702994-0.866086465124141)×R²
    abs(0.42491268-0.42337870)×0.000664648094200526×R²
    0.00153397999999999×0.000664648094200526×6371000²
    0.00153397999999999×0.000664648094200526×40589641000000     		ar = 71588617.4206787m²