Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2324 / 1678
↖ ↑ ↗
← N 30.902225°
E 24.257813°		 ← 8 385.66 m → N 30.902225°
E 24.345703°		 →
↑
8 389.01 m
↓
↑
8 389.01 m
↓
N 30.826781°
E 24.257813°		 ← 8 392.26 m →
70 375 138 m²		 N 30.826781°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5675048828125 y=0.4097900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5675048828125 × 212)
    floor (0.5675048828125 × 4096)
    floor (2324.5)     		tx = 2324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4097900390625 × 212)
    floor (0.4097900390625 × 4096)
    floor (1678.5)     		ty = 1678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2324 / 1678 ti = "12/2324/1678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2324/1678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2324 ÷ 212
    2324 ÷ 4096     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1678 ÷ 212
    1678 ÷ 4096     		y = 0.40966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40966796875 × 2 - 1) × π
    0.1806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.567572891501465))-π/2
    2×atan(1.76398047953736)-π/2
    2×1.05507094703868-π/2
    2.11014189407735-1.57079632675     		φ = 0.53934557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53934557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.902225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2324 KachelY 1678 0.42337870 0.53934557 24.257813 30.902225
    Oben rechts KachelX + 1 2325 KachelY 1678 0.42491268 0.53934557 24.345703 30.902225
    Unten links KachelX 2324 KachelY + 1 1679 0.42337870 0.53802882 24.257813 30.826781
    Unten rechts KachelX + 1 2325 KachelY + 1 1679 0.42491268 0.53802882 24.345703 30.826781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53934557-0.53802882) × R
    0.00131675000000009 × 6371000     		dl = 8389.01425000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53934557-0.53802882) × R
    0.00131675000000009 × 6371000     		dr = 8389.01425000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42491268) × cos(0.53934557) × R
    0.00153397999999999 × 0.858044963687684 × 6371000     		do = 8385.66191515627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42491268) × cos(0.53802882) × R
    0.00153397999999999 × 0.858720468956848 × 6371000     		du = 8392.26361908653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53934557)-sin(0.53802882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858044963687684-0.858720468956848)×R²
    abs(0.42491268-0.42337870)×0.000675505269164267×R²
    0.00153397999999999×0.000675505269164267×6371000²
    0.00153397999999999×0.000675505269164267×40589641000000     		ar = 70375138.3643147m²