Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2323 / 2438
↖ ↑ ↗
← S 32.398516°
E 24.169922°		 ← 8 251.74 m → S 32.398516°
E 24.257813°		 →
↑
8 248.41 m
↓
↑
8 248.41 m
↓
S 32.472695°
E 24.169922°		 ← 8 244.95 m →
68 035 735 m²		 S 32.472695°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5672607421875 y=0.5953369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5672607421875 × 212)
    floor (0.5672607421875 × 4096)
    floor (2323.5)     		tx = 2323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5953369140625 × 212)
    floor (0.5953369140625 × 4096)
    floor (2438.5)     		ty = 2438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2323 / 2438 ti = "12/2323/2438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2323/2438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2323 ÷ 212
    2323 ÷ 4096     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2438 ÷ 212
    2438 ÷ 4096     		y = 0.59521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.598252507258301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598252507258301))-π/2
    2×atan(0.549771518894505)-π/2
    2×0.502667776648375-π/2
    1.00533555329675-1.57079632675     		φ = -0.56546077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56546077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.398516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2323 KachelY 2438 0.42184472 -0.56546077 24.169922 -32.398516
    Oben rechts KachelX + 1 2324 KachelY 2438 0.42337870 -0.56546077 24.257813 -32.398516
    Unten links KachelX 2323 KachelY + 1 2439 0.42184472 -0.56675545 24.169922 -32.472695
    Unten rechts KachelX + 1 2324 KachelY + 1 2439 0.42337870 -0.56675545 24.257813 -32.472695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56546077--0.56675545) × R
    0.0012946800000001 × 6371000     		dl = 8248.40628000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56546077--0.56675545) × R
    0.0012946800000001 × 6371000     		dr = 8248.40628000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42337870) × cos(-0.56546077) × R
    0.00153397999999999 × 0.844341807229663 × 6371000     		do = 8251.7411509884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42337870) × cos(-0.56675545) × R
    0.00153397999999999 × 0.8436474038681 × 6371000     		du = 8244.95475625473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56546077)-sin(-0.56675545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844341807229663-0.8436474038681)×R²
    abs(0.42337870-0.42184472)×0.000694403361563012×R²
    0.00153397999999999×0.000694403361563012×6371000²
    0.00153397999999999×0.000694403361563012×40589641000000     		ar = 68035734.5637173m²