Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2323 / 1914
↖ ↑ ↗
← N 11.695273°
E 24.169922°		 ← 9 570.09 m → N 11.695273°
E 24.257813°		 →
↑
9 571.60 m
↓
↑
9 571.60 m
↓
N 11.609193°
E 24.169922°		 ← 9 573.06 m →
91 615 322 m²		 N 11.609193°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5672607421875 y=0.4674072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5672607421875 × 212)
    floor (0.5672607421875 × 4096)
    floor (2323.5)     		tx = 2323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4674072265625 × 212)
    floor (0.4674072265625 × 4096)
    floor (1914.5)     		ty = 1914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2323 / 1914 ti = "12/2323/1914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2323/1914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2323 ÷ 212
    2323 ÷ 4096     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1914 ÷ 212
    1914 ÷ 4096     		y = 0.46728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    0.0654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.205553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205553425570801))-π/2
    2×atan(1.22820459674071)-π/2
    2×0.887458671449611-π/2
    1.77491734289922-1.57079632675     		φ = 0.20412102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20412102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.695273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2323 KachelY 1914 0.42184472 0.20412102 24.169922 11.695273
    Oben rechts KachelX + 1 2324 KachelY 1914 0.42337870 0.20412102 24.257813 11.695273
    Unten links KachelX 2323 KachelY + 1 1915 0.42184472 0.20261865 24.169922 11.609193
    Unten rechts KachelX + 1 2324 KachelY + 1 1915 0.42337870 0.20261865 24.257813 11.609193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20412102-0.20261865) × R
    0.00150236999999998 × 6371000     		dl = 9571.59926999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20412102-0.20261865) × R
    0.00150236999999998 × 6371000     		dr = 9571.59926999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42337870) × cos(0.20412102) × R
    0.00153397999999999 × 0.979239537744585 × 6371000     		do = 9570.09486098317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42337870) × cos(0.20261865) × R
    0.00153397999999999 × 0.979542972675751 × 6371000     		du = 9573.06032649337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20412102)-sin(0.20261865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979239537744585-0.979542972675751)×R²
    abs(0.42337870-0.42184472)×0.000303434931166802×R²
    0.00153397999999999×0.000303434931166802×6371000²
    0.00153397999999999×0.000303434931166802×40589641000000     		ar = 91615322.3411718m²