Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2323 / 1687
↖ ↑ ↗
← N 30.221102°
E 24.169922°		 ← 8 444.73 m → N 30.221102°
E 24.257813°		 →
↑
8 448.01 m
↓
↑
8 448.01 m
↓
N 30.145127°
E 24.169922°		 ← 8 451.25 m →
71 368 734 m²		 N 30.145127°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5672607421875 y=0.4119873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5672607421875 × 212)
    floor (0.5672607421875 × 4096)
    floor (2323.5)     		tx = 2323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4119873046875 × 212)
    floor (0.4119873046875 × 4096)
    floor (1687.5)     		ty = 1687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2323 / 1687 ti = "12/2323/1687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2323/1687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2323 ÷ 212
    2323 ÷ 4096     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1687 ÷ 212
    1687 ÷ 4096     		y = 0.411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    0.17626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.553767064410889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.553767064410889))-π/2
    2×atan(1.73979460718437)-π/2
    2×1.04912702884383-π/2
    2.09825405768766-1.57079632675     		φ = 0.52745773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52745773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.221102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2323 KachelY 1687 0.42184472 0.52745773 24.169922 30.221102
    Oben rechts KachelX + 1 2324 KachelY 1687 0.42337870 0.52745773 24.257813 30.221102
    Unten links KachelX 2323 KachelY + 1 1688 0.42184472 0.52613172 24.169922 30.145127
    Unten rechts KachelX + 1 2324 KachelY + 1 1688 0.42337870 0.52613172 24.257813 30.145127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52745773-0.52613172) × R
    0.00132600999999999 × 6371000     		dl = 8448.00970999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52745773-0.52613172) × R
    0.00132600999999999 × 6371000     		dr = 8448.00970999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42337870) × cos(0.52745773) × R
    0.00153397999999999 × 0.864089483159158 × 6371000     		do = 8444.73492283353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42337870) × cos(0.52613172) × R
    0.00153397999999999 × 0.864756154813241 × 6371000     		du = 8451.25029596215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52745773)-sin(0.52613172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864089483159158-0.864756154813241)×R²
    abs(0.42337870-0.42184472)×0.000666671654083517×R²
    0.00153397999999999×0.000666671654083517×6371000²
    0.00153397999999999×0.000666671654083517×40589641000000     		ar = 71368734.0515185m²