Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2322 / 1913
↖ ↑ ↗
← N 11.781325°
E 24.082031°		 ← 9 567.11 m → N 11.781325°
E 24.169922°		 →
↑
9 568.60 m
↓
↑
9 568.60 m
↓
N 11.695273°
E 24.082031°		 ← 9 570.09 m →
91 558 187 m²		 N 11.695273°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5670166015625 y=0.4671630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5670166015625 × 212)
    floor (0.5670166015625 × 4096)
    floor (2322.5)     		tx = 2322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4671630859375 × 212)
    floor (0.4671630859375 × 4096)
    floor (1913.5)     		ty = 1913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2322 / 1913 ti = "12/2322/1913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2322/1913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2322 ÷ 212
    2322 ÷ 4096     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1913 ÷ 212
    1913 ÷ 4096     		y = 0.467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467041015625 × 2 - 1) × π
    0.06591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.207087406358643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207087406358643))-π/2
    2×atan(1.23009008477714)-π/2
    2×0.888209621727379-π/2
    1.77641924345476-1.57079632675     		φ = 0.20562292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20562292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.781325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2322 KachelY 1913 0.42031074 0.20562292 24.082031 11.781325
    Oben rechts KachelX + 1 2323 KachelY 1913 0.42184472 0.20562292 24.169922 11.781325
    Unten links KachelX 2322 KachelY + 1 1914 0.42031074 0.20412102 24.082031 11.695273
    Unten rechts KachelX + 1 2323 KachelY + 1 1914 0.42184472 0.20412102 24.169922 11.695273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20562292-0.20412102) × R
    0.0015019 × 6371000     		dl = 9568.6049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20562292-0.20412102) × R
    0.0015019 × 6371000     		dr = 9568.6049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42184472) × cos(0.20562292) × R
    0.00153397999999999 × 0.978933988520277 × 6371000     		do = 9567.10873251448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42184472) × cos(0.20412102) × R
    0.00153397999999999 × 0.979239537744585 × 6371000     		du = 9570.09486098317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20562292)-sin(0.20412102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978933988520277-0.979239537744585)×R²
    abs(0.42184472-0.42031074)×0.0003055492243077×R²
    0.00153397999999999×0.0003055492243077×6371000²
    0.00153397999999999×0.0003055492243077×40589641000000     		ar = 91558187.2491974m²