Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2322 / 1669
↖ ↑ ↗
← N 31.578536°
E 24.082031°		 ← 8 325.83 m → N 31.578536°
E 24.169922°		 →
↑
8 329.19 m
↓
↑
8 329.19 m
↓
N 31.503629°
E 24.082031°		 ← 8 332.52 m →
69 375 300 m²		 N 31.503629°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5670166015625 y=0.4075927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5670166015625 × 212)
    floor (0.5670166015625 × 4096)
    floor (2322.5)     		tx = 2322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4075927734375 × 212)
    floor (0.4075927734375 × 4096)
    floor (1669.5)     		ty = 1669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2322 / 1669 ti = "12/2322/1669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2322/1669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2322 ÷ 212
    2322 ÷ 4096     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1669 ÷ 212
    1669 ÷ 4096     		y = 0.407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407470703125 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.581378718592041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581378718592041))-π/2
    2×atan(1.78850257342998)-π/2
    2×1.06097287146519-π/2
    2.12194574293037-1.57079632675     		φ = 0.55114942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55114942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.578536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2322 KachelY 1669 0.42031074 0.55114942 24.082031 31.578536
    Oben rechts KachelX + 1 2323 KachelY 1669 0.42184472 0.55114942 24.169922 31.578536
    Unten links KachelX 2322 KachelY + 1 1670 0.42031074 0.54984206 24.082031 31.503629
    Unten rechts KachelX + 1 2323 KachelY + 1 1670 0.42184472 0.54984206 24.169922 31.503629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55114942-0.54984206) × R
    0.00130735999999998 × 6371000     		dl = 8329.19055999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55114942-0.54984206) × R
    0.00130735999999998 × 6371000     		dr = 8329.19055999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42184472) × cos(0.55114942) × R
    0.00153397999999999 × 0.85192317187383 × 6371000     		do = 8325.83372591393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42184472) × cos(0.54984206) × R
    0.00153397999999999 × 0.852607064646969 × 6371000     		du = 8332.51740080797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55114942)-sin(0.54984206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85192317187383-0.852607064646969)×R²
    abs(0.42184472-0.42031074)×0.000683892773138628×R²
    0.00153397999999999×0.000683892773138628×6371000²
    0.00153397999999999×0.000683892773138628×40589641000000     		ar = 69375300.3562236m²