Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23214 / 27344
↖ ↑ ↗
← N 28.536275°
W 52.481690°		 ← 536.64 m → N 28.536275°
W 52.476196°		 →
↑
536.63 m
↓
↑
536.63 m
↓
N 28.531449°
W 52.481690°		 ← 536.67 m →
287 984 m²		 N 28.531449°
W 52.476196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.354225158691406 y=0.417243957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.354225158691406 × 216)
    floor (0.354225158691406 × 65536)
    floor (23214.5)     		tx = 23214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417243957519531 × 216)
    floor (0.417243957519531 × 65536)
    floor (27344.5)     		ty = 27344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23214 / 27344 ti = "16/23214/27344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23214/27344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23214 ÷ 216
    23214 ÷ 65536     		x = 0.354217529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27344 ÷ 216
    27344 ÷ 65536     		y = 0.417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.354217529296875 × 2 - 1) × π
    -0.29156494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.91597828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417236328125 × 2 - 1) × π
    0.16552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.520019487078369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.91597828} λ = -0.91597828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.520019487078369))-π/2
    2×atan(1.68206042782289)-π/2
    2×1.03442413664323-π/2
    2.06884827328645-1.57079632675     		φ = 0.49805195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.91597828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.481690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49805195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.536275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23214 KachelY 27344 -0.91597828 0.49805195 -52.481690 28.536275
    Oben rechts KachelX + 1 23215 KachelY 27344 -0.91588240 0.49805195 -52.476196 28.536275
    Unten links KachelX 23214 KachelY + 1 27345 -0.91597828 0.49796772 -52.481690 28.531449
    Unten rechts KachelX + 1 23215 KachelY + 1 27345 -0.91588240 0.49796772 -52.476196 28.531449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49805195-0.49796772) × R
    8.42300000000185e-05 × 6371000     		dl = 536.629330000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49805195-0.49796772) × R
    8.42300000000185e-05 × 6371000     		dr = 536.629330000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.91597828--0.91588240) × cos(0.49805195) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.878514841052166 × 6371000     		do = 536.64209085895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.91597828--0.91588240) × cos(0.49796772) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.878555075874829 × 6371000     		du = 536.666668359921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49805195)-sin(0.49796772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878514841052166-0.878555075874829)×R²
    abs(-0.91588240--0.91597828)×4.02348226631322e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.02348226631322e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.02348226631322e-05×40589641000000     		ar = 287984.480341711m²