Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2321 / 6420
↖ ↑ ↗
← S 70.902268°
W 78.002930°		 ← 1 598.77 m → S 70.902268°
W 77.958984°		 →
↑
1 598.17 m
↓
↑
1 598.17 m
↓
S 70.916641°
W 78.002930°		 ← 1 597.61 m →
2 554 166 m²		 S 70.916641°
W 77.958984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28338623046875 y=0.78375244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28338623046875 × 213)
    floor (0.28338623046875 × 8192)
    floor (2321.5)     		tx = 2321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78375244140625 × 213)
    floor (0.78375244140625 × 8192)
    floor (6420.5)     		ty = 6420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2321 / 6420 ti = "13/2321/6420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2321/6420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2321 ÷ 213
    2321 ÷ 8192     		x = 0.2833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6420 ÷ 213
    6420 ÷ 8192     		y = 0.78369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36140795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78369140625 × 2 - 1) × π
    -0.5673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78248567547217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36140795} λ = -1.36140795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78248567547217))-π/2
    2×atan(0.168219488103227)-π/2
    2×0.166659149205025-π/2
    0.333318298410049-1.57079632675     		φ = -1.23747803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36140795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23747803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.902268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2321 KachelY 6420 -1.36140795 -1.23747803 -78.002930 -70.902268
    Oben rechts KachelX + 1 2322 KachelY 6420 -1.36064096 -1.23747803 -77.958984 -70.902268
    Unten links KachelX 2321 KachelY + 1 6421 -1.36140795 -1.23772888 -78.002930 -70.916641
    Unten rechts KachelX + 1 2322 KachelY + 1 6421 -1.36064096 -1.23772888 -77.958984 -70.916641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23747803--1.23772888) × R
    0.000250850000000025 × 6371000     		dl = 1598.16535000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23747803--1.23772888) × R
    0.000250850000000025 × 6371000     		dr = 1598.16535000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36140795--1.36064096) × cos(-1.23747803) × R
    0.000766990000000023 × 0.32718048787772 × 6371000     		do = 1598.76525863345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36140795--1.36064096) × cos(-1.23772888) × R
    0.000766990000000023 × 0.326943433902064 × 6371000     		du = 1597.60689597204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23747803)-sin(-1.23772888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32718048787772-0.326943433902064)×R²
    abs(-1.36064096--1.36140795)×0.000237053975655321×R²
    0.000766990000000023×0.000237053975655321×6371000²
    0.000766990000000023×0.000237053975655321×40589641000000     		ar = 2554165.62499021m²