Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2321 / 2847
↖ ↑ ↗
← N 75.325592°
W129.001465°		 ← 618.93 m → N 75.325592°
W128.979492°		 →
↑
619.07 m
↓
↑
619.07 m
↓
N 75.320025°
W129.001465°		 ← 619.16 m →
383 232 m²		 N 75.320025°
W128.979492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141693115234375 y=0.173797607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141693115234375 × 214)
    floor (0.141693115234375 × 16384)
    floor (2321.5)     		tx = 2321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173797607421875 × 214)
    floor (0.173797607421875 × 16384)
    floor (2847.5)     		ty = 2847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2321 / 2847 ti = "14/2321/2847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2321/2847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2321 ÷ 214
    2321 ÷ 16384     		x = 0.14166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2847 ÷ 214
    2847 ÷ 16384     		y = 0.17376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.7166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25150030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17376708984375 × 2 - 1) × π
    0.6524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0497818277536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25150030} λ = -2.25150030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0497818277536))-π/2
    2×atan(7.76620655073182)-π/2
    2×1.44273796352145-π/2
    2.88547592704291-1.57079632675     		φ = 1.31467960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25150030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.001465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31467960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.325592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2321 KachelY 2847 -2.25150030 1.31467960 -129.001465 75.325592
    Oben rechts KachelX + 1 2322 KachelY 2847 -2.25111681 1.31467960 -128.979492 75.325592
    Unten links KachelX 2321 KachelY + 1 2848 -2.25150030 1.31458243 -129.001465 75.320025
    Unten rechts KachelX + 1 2322 KachelY + 1 2848 -2.25111681 1.31458243 -128.979492 75.320025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31467960-1.31458243) × R
    9.71700000000908e-05 × 6371000     		dl = 619.070070000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31467960-1.31458243) × R
    9.71700000000908e-05 × 6371000     		dr = 619.070070000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25150030--2.25111681) × cos(1.31467960) × R
    0.000383489999999931 × 0.253325866655583 × 6371000     		do = 618.929504102377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25150030--2.25111681) × cos(1.31458243) × R
    0.000383489999999931 × 0.25341986587156 × 6371000     		du = 619.159164377101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31467960)-sin(1.31458243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253325866655583-0.25341986587156)×R²
    abs(-2.25111681--2.25150030)×9.39992159771363e-05×R²
    0.000383489999999931×9.39992159771363e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.39992159771363e-05×40589641000000     		ar = 383231.819632958m²