Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 232 / 106
↖ ↑ ↗
← N 71.965388°
W 16.875000°		 ← 24.205 km → N 71.965388°
W 16.171875°		 →
↑
24.347 km
↓
↑
24.347 km
↓
N 71.746432°
W 16.875000°		 ← 24.489 km →
592.773 km²		 N 71.746432°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4541015625 y=0.2080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4541015625 × 29)
    floor (0.4541015625 × 512)
    floor (232.5)     		tx = 232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2080078125 × 29)
    floor (0.2080078125 × 512)
    floor (106.5)     		ty = 106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 232 / 106 ti = "9/232/106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/232/106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 232 ÷ 29
    232 ÷ 512     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 106 ÷ 29
    106 ÷ 512     		y = 0.20703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20703125 × 2 - 1) × π
    0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84077694541016))-π/2
    2×atan(6.30143222845502)-π/2
    2×1.41341464480134-π/2
    2.82682928960268-1.57079632675     		φ = 1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 232 KachelY 106 -0.29452431 1.25603296 -16.875000 71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 233 KachelY 106 -0.28225246 1.25603296 -16.171875 71.965388
    Unten links KachelX 232 KachelY + 1 107 -0.29452431 1.25221146 -16.875000 71.746432
    Unten rechts KachelX + 1 233 KachelY + 1 107 -0.28225246 1.25221146 -16.171875 71.746432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25603296-1.25221146) × R
    0.00382149999999992 × 6371000     		dl = 24346.7764999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25603296-1.25221146) × R
    0.00382149999999992 × 6371000     		dr = 24346.7764999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.28225246) × cos(1.25603296) × R
    0.01227185 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 24205.0861770439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.28225246) × cos(1.25221146) × R
    0.01227185 × 0.313222951529119 × 6371000     		du = 24489.0095701709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25603296)-sin(1.25221146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.313222951529119)×R²
    abs(-0.28225246--0.29452431)×0.00363147896808863×R²
    0.01227185×0.00363147896808863×6371000²
    0.01227185×0.00363147896808863×40589641000000     		ar = 592772854.41145m²