Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2319 / 6448
↖ ↑ ↗
← S 71.300793°
W 78.090820°		 ← 1 566.61 m → S 71.300793°
W 78.046875°		 →
↑
1 565.99 m
↓
↑
1 565.99 m
↓
S 71.314876°
W 78.090820°		 ← 1 565.47 m →
2 452 406 m²		 S 71.314876°
W 78.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28314208984375 y=0.78717041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28314208984375 × 213)
    floor (0.28314208984375 × 8192)
    floor (2319.5)     		tx = 2319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78717041015625 × 213)
    floor (0.78717041015625 × 8192)
    floor (6448.5)     		ty = 6448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2319 / 6448 ti = "13/2319/6448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2319/6448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2319 ÷ 213
    2319 ÷ 8192     		x = 0.2830810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6448 ÷ 213
    6448 ÷ 8192     		y = 0.787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2830810546875 × 2 - 1) × π
    -0.433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36294193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787109375 × 2 - 1) × π
    -0.57421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80396140650195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36294193} λ = -1.36294193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80396140650195))-π/2
    2×atan(0.164645367416431)-π/2
    2×0.163181365569021-π/2
    0.326362731138042-1.57079632675     		φ = -1.24443360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36294193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.090820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24443360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.300793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2319 KachelY 6448 -1.36294193 -1.24443360 -78.090820 -71.300793
    Oben rechts KachelX + 1 2320 KachelY 6448 -1.36217494 -1.24443360 -78.046875 -71.300793
    Unten links KachelX 2319 KachelY + 1 6449 -1.36294193 -1.24467940 -78.090820 -71.314876
    Unten rechts KachelX + 1 2320 KachelY + 1 6449 -1.36217494 -1.24467940 -78.046875 -71.314876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24443360--1.24467940) × R
    0.000245800000000074 × 6371000     		dl = 1565.99180000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24443360--1.24467940) × R
    0.000245800000000074 × 6371000     		dr = 1565.99180000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36294193--1.36217494) × cos(-1.24443360) × R
    0.000766990000000023 × 0.320599878012355 × 6371000     		do = 1566.60915268224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36294193--1.36217494) × cos(-1.24467940) × R
    0.000766990000000023 × 0.320367042952561 × 6371000     		du = 1565.47140572488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24443360)-sin(-1.24467940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320599878012355-0.320367042952561)×R²
    abs(-1.36217494--1.36294193)×0.000232835059793879×R²
    0.000766990000000023×0.000232835059793879×6371000²
    0.000766990000000023×0.000232835059793879×40589641000000     		ar = 2452406.24804966m²