Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2319 / 1894
↖ ↑ ↗
← N 13.410994°
E 23.818359°		 ← 9 506.49 m → N 13.410994°
E 23.906250°		 →
↑
9 508.14 m
↓
↑
9 508.14 m
↓
N 13.325485°
E 23.818359°		 ← 9 509.86 m →
90 405 134 m²		 N 13.325485°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5662841796875 y=0.4625244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5662841796875 × 212)
    floor (0.5662841796875 × 4096)
    floor (2319.5)     		tx = 2319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4625244140625 × 212)
    floor (0.4625244140625 × 4096)
    floor (1894.5)     		ty = 1894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2319 / 1894 ti = "12/2319/1894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2319/1894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2319 ÷ 212
    2319 ÷ 4096     		x = 0.566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1894 ÷ 212
    1894 ÷ 4096     		y = 0.46240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566162109375 × 2 - 1) × π
    0.13232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41570879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    0.0751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.236233041327637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41570879} λ = 0.41570879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236233041327637))-π/2
    2×atan(1.26646941549367)-π/2
    2×0.90243116432628-π/2
    1.80486232865256-1.57079632675     		φ = 0.23406600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41570879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23406600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.410994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2319 KachelY 1894 0.41570879 0.23406600 23.818359 13.410994
    Oben rechts KachelX + 1 2320 KachelY 1894 0.41724277 0.23406600 23.906250 13.410994
    Unten links KachelX 2319 KachelY + 1 1895 0.41570879 0.23257359 23.818359 13.325485
    Unten rechts KachelX + 1 2320 KachelY + 1 1895 0.41724277 0.23257359 23.906250 13.325485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23406600-0.23257359) × R
    0.00149241 × 6371000     		dl = 9508.14411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23406600-0.23257359) × R
    0.00149241 × 6371000     		dr = 9508.14411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41570879-0.41724277) × cos(0.23406600) × R
    0.00153397999999999 × 0.972731392460163 × 6371000     		do = 9506.49084445782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41570879-0.41724277) × cos(0.23257359) × R
    0.00153397999999999 × 0.973076450505838 × 6371000     		du = 9509.86309210753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23406600)-sin(0.23257359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972731392460163-0.973076450505838)×R²
    abs(0.41724277-0.41570879)×0.000345058045675528×R²
    0.00153397999999999×0.000345058045675528×6371000²
    0.00153397999999999×0.000345058045675528×40589641000000     		ar = 90405133.6176679m²