Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2318 / 1895
↖ ↑ ↗
← N 13.325485°
E 23.730469°		 ← 9 509.86 m → N 13.325485°
E 23.818359°		 →
↑
9 511.58 m
↓
↑
9 511.58 m
↓
N 13.239945°
E 23.730469°		 ← 9 513.22 m →
90 469 825 m²		 N 13.239945°
E 23.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5660400390625 y=0.4627685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5660400390625 × 212)
    floor (0.5660400390625 × 4096)
    floor (2318.5)     		tx = 2318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4627685546875 × 212)
    floor (0.4627685546875 × 4096)
    floor (1895.5)     		ty = 1895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2318 / 1895 ti = "12/2318/1895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2318/1895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2318 ÷ 212
    2318 ÷ 4096     		x = 0.56591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1895 ÷ 212
    1895 ÷ 4096     		y = 0.462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462646484375 × 2 - 1) × π
    0.07470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.234699060539795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41417481} λ = 0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.234699060539795))-π/2
    2×atan(1.26452816504303)-π/2
    2×0.901684956233397-π/2
    1.80336991246679-1.57079632675     		φ = 0.23257359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23257359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.325485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2318 KachelY 1895 0.41417481 0.23257359 23.730469 13.325485
    Oben rechts KachelX + 1 2319 KachelY 1895 0.41570879 0.23257359 23.818359 13.325485
    Unten links KachelX 2318 KachelY + 1 1896 0.41417481 0.23108064 23.730469 13.239945
    Unten rechts KachelX + 1 2319 KachelY + 1 1896 0.41570879 0.23108064 23.818359 13.239945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23257359-0.23108064) × R
    0.00149294999999999 × 6371000     		dl = 9511.58444999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23257359-0.23108064) × R
    0.00149294999999999 × 6371000     		dr = 9511.58444999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41417481-0.41570879) × cos(0.23257359) × R
    0.00153397999999999 × 0.973076450505838 × 6371000     		do = 9509.86309210753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41417481-0.41570879) × cos(0.23108064) × R
    0.00153397999999999 × 0.973419464906907 × 6371000     		du = 9513.21536724593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23257359)-sin(0.23108064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973076450505838-0.973419464906907)×R²
    abs(0.41570879-0.41417481)×0.000343014401069097×R²
    0.00153397999999999×0.000343014401069097×6371000²
    0.00153397999999999×0.000343014401069097×40589641000000     		ar = 90469825.4365738m²