Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2316 / 6435
↖ ↑ ↗
← S 71.116771°
W 78.222656°		 ← 1 581.47 m → S 71.116771°
W 78.178711°		 →
↑
1 580.90 m
↓
↑
1 580.90 m
↓
S 71.130988°
W 78.222656°		 ← 1 580.32 m →
2 499 234 m²		 S 71.130988°
W 78.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28277587890625 y=0.78558349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28277587890625 × 213)
    floor (0.28277587890625 × 8192)
    floor (2316.5)     		tx = 2316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78558349609375 × 213)
    floor (0.78558349609375 × 8192)
    floor (6435.5)     		ty = 6435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2316 / 6435 ti = "13/2316/6435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2316/6435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2316 ÷ 213
    2316 ÷ 8192     		x = 0.28271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6435 ÷ 213
    6435 ÷ 8192     		y = 0.7855224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36524290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7855224609375 × 2 - 1) × π
    -0.571044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79399053138098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36524290} λ = -1.36524290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79399053138098))-π/2
    2×atan(0.166295237469395)-π/2
    2×0.164787265091542-π/2
    0.329574530183084-1.57079632675     		φ = -1.24122180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36524290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24122180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.116771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2316 KachelY 6435 -1.36524290 -1.24122180 -78.222656 -71.116771
    Oben rechts KachelX + 1 2317 KachelY 6435 -1.36447591 -1.24122180 -78.178711 -71.116771
    Unten links KachelX 2316 KachelY + 1 6436 -1.36524290 -1.24146994 -78.222656 -71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 2317 KachelY + 1 6436 -1.36447591 -1.24146994 -78.178711 -71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24122180--1.24146994) × R
    0.000248140000000063 × 6371000     		dl = 1580.8999400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24122180--1.24146994) × R
    0.000248140000000063 × 6371000     		dr = 1580.8999400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36524290--1.36447591) × cos(-1.24122180) × R
    0.000766990000000023 × 0.323640483408607 × 6371000     		do = 1581.46705054856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36524290--1.36447591) × cos(-1.24146994) × R
    0.000766990000000023 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 1580.31972587394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24122180)-sin(-1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323640483408607-0.323405688309846)×R²
    abs(-1.36447591--1.36524290)×0.000234795098761897×R²
    0.000766990000000023×0.000234795098761897×6371000²
    0.000766990000000023×0.000234795098761897×40589641000000     		ar = 2499234.2753936m²