Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23154 / 11090
↖ ↑ ↗
← N 81.588470°
W116.405640°		 ← 44.68 m → N 81.588470°
W116.402893°		 →
↑
44.66 m
↓
↑
44.66 m
↓
N 81.588068°
W116.405640°		 ← 44.68 m →
1 995 m²		 N 81.588068°
W116.402893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.176654815673828 y=0.0846138000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.176654815673828 × 217)
    floor (0.176654815673828 × 131072)
    floor (23154.5)     		tx = 23154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0846138000488281 × 217)
    floor (0.0846138000488281 × 131072)
    floor (11090.5)     		ty = 11090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23154 / 11090 ti = "17/23154/11090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23154/11090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23154 ÷ 217
    23154 ÷ 131072     		x = 0.176651000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11090 ÷ 217
    11090 ÷ 131072     		y = 0.0846099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.176651000976562 × 2 - 1) × π
    -0.646697998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.03166168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0846099853515625 × 2 - 1) × π
    0.830780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60997243671358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.03166168} λ = -2.03166168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60997243671358))-π/2
    2×atan(13.598676022463)-π/2
    2×1.49739188051392-π/2
    2.99478376102783-1.57079632675     		φ = 1.42398743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.03166168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.405640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42398743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.588470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23154 KachelY 11090 -2.03166168 1.42398743 -116.405640 81.588470
    Oben rechts KachelX + 1 23155 KachelY 11090 -2.03161374 1.42398743 -116.402893 81.588470
    Unten links KachelX 23154 KachelY + 1 11091 -2.03166168 1.42398042 -116.405640 81.588068
    Unten rechts KachelX + 1 23155 KachelY + 1 11091 -2.03161374 1.42398042 -116.402893 81.588068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42398743-1.42398042) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dl = 44.6607100001879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42398743-1.42398042) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dr = 44.6607100001879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.03166168--2.03161374) × cos(1.42398743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146282106398733 × 6371000     		do = 44.6783205955626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.03166168--2.03161374) × cos(1.42398042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146289040987975 × 6371000     		du = 44.6804385976133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42398743)-sin(1.42398042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146282106398733-0.146289040987975)×R²
    abs(-2.03161374--2.03166168)×6.93458924161394e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.93458924161394e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.93458924161394e-06×40589641000000     		ar = 1995.41281523938m²