Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2315 / 6434
↖ ↑ ↗
← S 71.102543°
W 78.266601°		 ← 1 582.62 m → S 71.102543°
W 78.222656°		 →
↑
1 582.05 m
↓
↑
1 582.05 m
↓
S 71.116771°
W 78.266601°		 ← 1 581.47 m →
2 502 863 m²		 S 71.116771°
W 78.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28265380859375 y=0.78546142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28265380859375 × 213)
    floor (0.28265380859375 × 8192)
    floor (2315.5)     		tx = 2315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78546142578125 × 213)
    floor (0.78546142578125 × 8192)
    floor (6434.5)     		ty = 6434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2315 / 6434 ti = "13/2315/6434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2315/6434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2315 ÷ 213
    2315 ÷ 8192     		x = 0.2825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6434 ÷ 213
    6434 ÷ 8192     		y = 0.785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36600989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.57080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79322354098706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36600989} λ = -1.36600989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79322354098706))-π/2
    2×atan(0.1664228332452)-π/2
    2×0.16491142470898-π/2
    0.329822849417961-1.57079632675     		φ = -1.24097348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36600989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.266601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24097348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.102543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2315 KachelY 6434 -1.36600989 -1.24097348 -78.266601 -71.102543
    Oben rechts KachelX + 1 2316 KachelY 6434 -1.36524290 -1.24097348 -78.222656 -71.102543
    Unten links KachelX 2315 KachelY + 1 6435 -1.36600989 -1.24122180 -78.266601 -71.116771
    Unten rechts KachelX + 1 2316 KachelY + 1 6435 -1.36524290 -1.24122180 -78.222656 -71.116771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24097348--1.24122180) × R
    0.000248319999999858 × 6371000     		dl = 1582.04671999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24097348--1.24122180) × R
    0.000248319999999858 × 6371000     		dr = 1582.04671999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36600989--1.36524290) × cos(-1.24097348) × R
    0.000766990000000023 × 0.323875428877662 × 6371000     		do = 1582.61511000662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36600989--1.36524290) × cos(-1.24122180) × R
    0.000766990000000023 × 0.323640483408607 × 6371000     		du = 1581.46705054856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24097348)-sin(-1.24122180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323875428877662-0.323640483408607)×R²
    abs(-1.36524290--1.36600989)×0.000234945469054892×R²
    0.000766990000000023×0.000234945469054892×6371000²
    0.000766990000000023×0.000234945469054892×40589641000000     		ar = 2502862.91481782m²