Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2315 / 2829
↖ ↑ ↗
← S 56.413901°
E 23.466797°		 ← 5 406.31 m → S 56.413901°
E 23.554687°		 →
↑
5 402.86 m
↓
↑
5 402.86 m
↓
S 56.462490°
E 23.466797°		 ← 5 399.41 m →
29 190 913 m²		 S 56.462490°
E 23.554687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5653076171875 y=0.6907958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5653076171875 × 212)
    floor (0.5653076171875 × 4096)
    floor (2315.5)     		tx = 2315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6907958984375 × 212)
    floor (0.6907958984375 × 4096)
    floor (2829.5)     		ty = 2829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2315 / 2829 ti = "12/2315/2829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2315/2829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2315 ÷ 212
    2315 ÷ 4096     		x = 0.565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2829 ÷ 212
    2829 ÷ 4096     		y = 0.690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565185546875 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.38134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19803899530444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40957287} λ = 0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19803899530444))-π/2
    2×atan(0.301785434681886)-π/2
    2×0.293094001953581-π/2
    0.586188003907162-1.57079632675     		φ = -0.98460832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98460832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.413901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2315 KachelY 2829 0.40957287 -0.98460832 23.466797 -56.413901
    Oben rechts KachelX + 1 2316 KachelY 2829 0.41110685 -0.98460832 23.554687 -56.413901
    Unten links KachelX 2315 KachelY + 1 2830 0.40957287 -0.98545636 23.466797 -56.462490
    Unten rechts KachelX + 1 2316 KachelY + 1 2830 0.41110685 -0.98545636 23.554687 -56.462490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98460832--0.98545636) × R
    0.00084804000000005 × 6371000     		dl = 5402.86284000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98460832--0.98545636) × R
    0.00084804000000005 × 6371000     		dr = 5402.86284000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40957287-0.41110685) × cos(-0.98460832) × R
    0.00153398000000005 × 0.553189448044213 × 6371000     		do = 5406.31305193386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40957287-0.41110685) × cos(-0.98545636) × R
    0.00153398000000005 × 0.552482784839583 × 6371000     		du = 5399.40684191844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98460832)-sin(-0.98545636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553189448044213-0.552482784839583)×R²
    abs(0.41110685-0.40957287)×0.000706663204629643×R²
    0.00153398000000005×0.000706663204629643×6371000²
    0.00153398000000005×0.000706663204629643×40589641000000     		ar = 29190912.9864123m²