Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2315 / 1879
↖ ↑ ↗
← N 14.689882°
E 23.466797°		 ← 9 453.53 m → N 14.689882°
E 23.554687°		 →
↑
9 455.39 m
↓
↑
9 455.39 m
↓
N 14.604847°
E 23.466797°		 ← 9 457.20 m →
89 404 215 m²		 N 14.604847°
E 23.554687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5653076171875 y=0.4588623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5653076171875 × 212)
    floor (0.5653076171875 × 4096)
    floor (2315.5)     		tx = 2315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4588623046875 × 212)
    floor (0.4588623046875 × 4096)
    floor (1879.5)     		ty = 1879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2315 / 1879 ti = "12/2315/1879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2315/1879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2315 ÷ 212
    2315 ÷ 4096     		x = 0.565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1879 ÷ 212
    1879 ÷ 4096     		y = 0.458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565185546875 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    0.08251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.259242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40957287} λ = 0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259242753145264))-π/2
    2×atan(1.29594836218763)-π/2
    2×0.913591561681295-π/2
    1.82718312336259-1.57079632675     		φ = 0.25638680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25638680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.689882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2315 KachelY 1879 0.40957287 0.25638680 23.466797 14.689882
    Oben rechts KachelX + 1 2316 KachelY 1879 0.41110685 0.25638680 23.554687 14.689882
    Unten links KachelX 2315 KachelY + 1 1880 0.40957287 0.25490267 23.466797 14.604847
    Unten rechts KachelX + 1 2316 KachelY + 1 1880 0.41110685 0.25490267 23.554687 14.604847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25638680-0.25490267) × R
    0.00148413000000003 × 6371000     		dl = 9455.39223000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25638680-0.25490267) × R
    0.00148413000000003 × 6371000     		dr = 9455.39223000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40957287-0.41110685) × cos(0.25638680) × R
    0.00153398000000005 × 0.967312551356243 × 6371000     		do = 9453.53258307041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40957287-0.41110685) × cos(0.25490267) × R
    0.00153398000000005 × 0.96768784215076 × 6371000     		du = 9457.20029496882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25638680)-sin(0.25490267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967312551356243-0.96768784215076)×R²
    abs(0.41110685-0.40957287)×0.000375290794516148×R²
    0.00153398000000005×0.000375290794516148×6371000²
    0.00153398000000005×0.000375290794516148×40589641000000     		ar = 89404214.7697682m²