Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2314 / 2826
↖ ↑ ↗
← N 75.442030°
W129.155274°		 ← 614.14 m → N 75.442030°
W129.133301°		 →
↑
614.29 m
↓
↑
614.29 m
↓
N 75.436505°
W129.155274°		 ← 614.37 m →
377 332 m²		 N 75.436505°
W129.133301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141265869140625 y=0.172515869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141265869140625 × 214)
    floor (0.141265869140625 × 16384)
    floor (2314.5)     		tx = 2314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172515869140625 × 214)
    floor (0.172515869140625 × 16384)
    floor (2826.5)     		ty = 2826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2314 / 2826 ti = "14/2314/2826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2314/2826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2314 ÷ 214
    2314 ÷ 16384     		x = 0.1412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2826 ÷ 214
    2826 ÷ 16384     		y = 0.1724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.717529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25418477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1724853515625 × 2 - 1) × π
    0.655029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05783522688977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25418477} λ = -2.25418477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05783522688977))-π/2
    2×atan(7.82900343664986)-π/2
    2×1.44375406675503-π/2
    2.88750813351006-1.57079632675     		φ = 1.31671181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25418477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.155274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31671181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.442030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2314 KachelY 2826 -2.25418477 1.31671181 -129.155274 75.442030
    Oben rechts KachelX + 1 2315 KachelY 2826 -2.25380127 1.31671181 -129.133301 75.442030
    Unten links KachelX 2314 KachelY + 1 2827 -2.25418477 1.31661539 -129.155274 75.436505
    Unten rechts KachelX + 1 2315 KachelY + 1 2827 -2.25380127 1.31661539 -129.133301 75.436505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31671181-1.31661539) × R
    9.6419999999986e-05 × 6371000     		dl = 614.291819999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31671181-1.31661539) × R
    9.6419999999986e-05 × 6371000     		dr = 614.291819999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25418477--2.25380127) × cos(1.31671181) × R
    0.000383500000000314 × 0.251359423558095 × 6371000     		do = 614.14107535239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25418477--2.25380127) × cos(1.31661539) × R
    0.000383500000000314 × 0.251452746711325 × 6371000     		du = 614.369089806229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31671181)-sin(1.31661539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251359423558095-0.251452746711325)×R²
    abs(-2.25380127--2.25418477)×9.33231532295187e-05×R²
    0.000383500000000314×9.33231532295187e-05×6371000²
    0.000383500000000314×9.33231532295187e-05×40589641000000     		ar = 377331.87291441m²