Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2313 / 1881
↖ ↑ ↗
← N 14.519780°
E 23.291016°		 ← 9 460.85 m → N 14.519780°
E 23.378906°		 →
↑
9 462.66 m
↓
↑
9 462.66 m
↓
N 14.434680°
E 23.291016°		 ← 9 464.48 m →
89 541 933 m²		 N 14.434680°
E 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5648193359375 y=0.4593505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5648193359375 × 212)
    floor (0.5648193359375 × 4096)
    floor (2313.5)     		tx = 2313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4593505859375 × 212)
    floor (0.4593505859375 × 4096)
    floor (1881.5)     		ty = 1881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2313 / 1881 ti = "12/2313/1881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2313/1881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2313 ÷ 212
    2313 ÷ 4096     		x = 0.564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1881 ÷ 212
    1881 ÷ 4096     		y = 0.459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564697265625 × 2 - 1) × π
    0.12939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40650491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459228515625 × 2 - 1) × π
    0.08154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.25617479156958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40650491} λ = 0.40650491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.25617479156958))-π/2
    2×atan(1.29197853516055)-π/2
    2×0.912107147630787-π/2
    1.82421429526157-1.57079632675     		φ = 0.25341797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40650491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25341797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.519780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2313 KachelY 1881 0.40650491 0.25341797 23.291016 14.519780
    Oben rechts KachelX + 1 2314 KachelY 1881 0.40803889 0.25341797 23.378906 14.519780
    Unten links KachelX 2313 KachelY + 1 1882 0.40650491 0.25193270 23.291016 14.434680
    Unten rechts KachelX + 1 2314 KachelY + 1 1882 0.40803889 0.25193270 23.378906 14.434680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25341797-0.25193270) × R
    0.00148526999999998 × 6371000     		dl = 9462.65516999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25341797-0.25193270) × R
    0.00148526999999998 × 6371000     		dr = 9462.65516999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40650491-0.40803889) × cos(0.25341797) × R
    0.00153397999999999 × 0.968061144383185 × 6371000     		do = 9460.84857267625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40650491-0.40803889) × cos(0.25193270) × R
    0.00153397999999999 × 0.968432454773362 × 6371000     		du = 9464.47738413646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25341797)-sin(0.25193270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968061144383185-0.968432454773362)×R²
    abs(0.40803889-0.40650491)×0.000371310390177237×R²
    0.00153397999999999×0.000371310390177237×6371000²
    0.00153397999999999×0.000371310390177237×40589641000000     		ar = 89541933.215578m²