Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2312 / 4299
↖ ↑ ↗
← S  8.885071°
W 78.398437°		 ← 4 827.86 m → S  8.885071°
W 78.354492°		 →
↑
4 827.63 m
↓
↑
4 827.63 m
↓
S  8.928487°
W 78.398437°		 ← 4 827.28 m →
23 305 697 m²		 S  8.928487°
W 78.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28228759765625 y=0.52484130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28228759765625 × 213)
    floor (0.28228759765625 × 8192)
    floor (2312.5)     		tx = 2312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52484130859375 × 213)
    floor (0.52484130859375 × 8192)
    floor (4299.5)     		ty = 4299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2312 / 4299 ti = "13/2312/4299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2312/4299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2312 ÷ 213
    2312 ÷ 8192     		x = 0.2822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4299 ÷ 213
    4299 ÷ 8192     		y = 0.5247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2822265625 × 2 - 1) × π
    -0.435546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36831086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.155699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36831086} λ = -1.36831086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155699049965942))-π/2
    2×atan(0.855816709686779)-π/2
    2×0.707861285998055-π/2
    1.41572257199611-1.57079632675     		φ = -0.15507375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36831086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.398437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15507375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.885071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2312 KachelY 4299 -1.36831086 -0.15507375 -78.398437 -8.885071
    Oben rechts KachelX + 1 2313 KachelY 4299 -1.36754387 -0.15507375 -78.354492 -8.885071
    Unten links KachelX 2312 KachelY + 1 4300 -1.36831086 -0.15583150 -78.398437 -8.928487
    Unten rechts KachelX + 1 2313 KachelY + 1 4300 -1.36754387 -0.15583150 -78.354492 -8.928487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15507375--0.15583150) × R
    0.000757750000000001 × 6371000     		dl = 4827.62525000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15507375--0.15583150) × R
    0.000757750000000001 × 6371000     		dr = 4827.62525000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36831086--1.36754387) × cos(-0.15507375) × R
    0.000766990000000023 × 0.988000142554999 × 6371000     		do = 4827.85606711419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36831086--1.36754387) × cos(-0.15583150) × R
    0.000766990000000023 × 0.987882822184733 × 6371000     		du = 4827.28278191211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15507375)-sin(-0.15583150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988000142554999-0.987882822184733)×R²
    abs(-1.36754387--1.36831086)×0.000117320370265905×R²
    0.000766990000000023×0.000117320370265905×6371000²
    0.000766990000000023×0.000117320370265905×40589641000000     		ar = 23305697.1650558m²