Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2312 / 2823
↖ ↑ ↗
← S 56.121060°
E 23.203125°		 ← 5 447.85 m → S 56.121060°
E 23.291016°		 →
↑
5 444.40 m
↓
↑
5 444.40 m
↓
S 56.170023°
E 23.203125°		 ← 5 440.92 m →
29 641 425 m²		 S 56.170023°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5645751953125 y=0.6893310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5645751953125 × 212)
    floor (0.5645751953125 × 4096)
    floor (2312.5)     		tx = 2312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6893310546875 × 212)
    floor (0.6893310546875 × 4096)
    floor (2823.5)     		ty = 2823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2312 / 2823 ti = "12/2312/2823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2312/2823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2312 ÷ 212
    2312 ÷ 4096     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2823 ÷ 212
    2823 ÷ 4096     		y = 0.689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.37841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18883511057739))-π/2
    2×atan(0.304575854688683)-π/2
    2×0.295649521343065-π/2
    0.59129904268613-1.57079632675     		φ = -0.97949728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97949728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.121060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2312 KachelY 2823 0.40497093 -0.97949728 23.203125 -56.121060
    Oben rechts KachelX + 1 2313 KachelY 2823 0.40650491 -0.97949728 23.291016 -56.121060
    Unten links KachelX 2312 KachelY + 1 2824 0.40497093 -0.98035184 23.203125 -56.170023
    Unten rechts KachelX + 1 2313 KachelY + 1 2824 0.40650491 -0.98035184 23.291016 -56.170023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97949728--0.98035184) × R
    0.000854559999999949 × 6371000     		dl = 5444.40175999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97949728--0.98035184) × R
    0.000854559999999949 × 6371000     		dr = 5444.40175999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(-0.97949728) × R
    0.00153397999999999 × 0.557439983999297 × 6371000     		do = 5447.85348278051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(-0.98035184) × R
    0.00153397999999999 × 0.556730310100116 × 6371000     		du = 5440.91784928764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97949728)-sin(-0.98035184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557439983999297-0.556730310100116)×R²
    abs(0.40650491-0.40497093)×0.000709673899180974×R²
    0.00153397999999999×0.000709673899180974×6371000²
    0.00153397999999999×0.000709673899180974×40589641000000     		ar = 29641424.7061354m²