Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2312 / 2822
↖ ↑ ↗
← S 56.072036°
E 23.203125°		 ← 5 454.79 m → S 56.072036°
E 23.291016°		 →
↑
5 451.28 m
↓
↑
5 451.28 m
↓
S 56.121060°
E 23.203125°		 ← 5 447.85 m →
29 716 707 m²		 S 56.121060°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5645751953125 y=0.6890869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5645751953125 × 212)
    floor (0.5645751953125 × 4096)
    floor (2312.5)     		tx = 2312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6890869140625 × 212)
    floor (0.6890869140625 × 4096)
    floor (2822.5)     		ty = 2822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2312 / 2822 ti = "12/2312/2822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2312/2822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2312 ÷ 212
    2312 ÷ 4096     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2822 ÷ 212
    2822 ÷ 4096     		y = 0.68896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68896484375 × 2 - 1) × π
    -0.3779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18730112978955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18730112978955))-π/2
    2×atan(0.305043426729793)-π/2
    2×0.29607734476793-π/2
    0.59215468953586-1.57079632675     		φ = -0.97864164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97864164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.072036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2312 KachelY 2822 0.40497093 -0.97864164 23.203125 -56.072036
    Oben rechts KachelX + 1 2313 KachelY 2822 0.40650491 -0.97864164 23.291016 -56.072036
    Unten links KachelX 2312 KachelY + 1 2823 0.40497093 -0.97949728 23.203125 -56.121060
    Unten rechts KachelX + 1 2313 KachelY + 1 2823 0.40650491 -0.97949728 23.291016 -56.121060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97864164--0.97949728) × R
    0.000855640000000046 × 6371000     		dl = 5451.2824400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97864164--0.97949728) × R
    0.000855640000000046 × 6371000     		dr = 5451.2824400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(-0.97864164) × R
    0.00153397999999999 × 0.558150146934739 × 6371000     		do = 5454.7938956182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(-0.97949728) × R
    0.00153397999999999 × 0.557439983999297 × 6371000     		du = 5447.85348278051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97864164)-sin(-0.97949728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558150146934739-0.557439983999297)×R²
    abs(0.40650491-0.40497093)×0.000710162935441794×R²
    0.00153397999999999×0.000710162935441794×6371000²
    0.00153397999999999×0.000710162935441794×40589641000000     		ar = 29716706.9147104m²