Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2312 / 1899
↖ ↑ ↗
← N 12.983147°
E 23.203125°		 ← 9 523.15 m → N 12.983147°
E 23.291016°		 →
↑
9 524.77 m
↓
↑
9 524.77 m
↓
N 12.897489°
E 23.203125°		 ← 9 526.42 m →
90 721 452 m²		 N 12.897489°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5645751953125 y=0.4637451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5645751953125 × 212)
    floor (0.5645751953125 × 4096)
    floor (2312.5)     		tx = 2312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4637451171875 × 212)
    floor (0.4637451171875 × 4096)
    floor (1899.5)     		ty = 1899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2312 / 1899 ti = "12/2312/1899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2312/1899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2312 ÷ 212
    2312 ÷ 4096     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1899 ÷ 212
    1899 ÷ 4096     		y = 0.463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    0.07275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.228563137388428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228563137388428))-π/2
    2×atan(1.25679287324677)-π/2
    2×0.898697500859708-π/2
    1.79739500171942-1.57079632675     		φ = 0.22659867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22659867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.983147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2312 KachelY 1899 0.40497093 0.22659867 23.203125 12.983147
    Oben rechts KachelX + 1 2313 KachelY 1899 0.40650491 0.22659867 23.291016 12.983147
    Unten links KachelX 2312 KachelY + 1 1900 0.40497093 0.22510365 23.203125 12.897489
    Unten rechts KachelX + 1 2313 KachelY + 1 1900 0.40650491 0.22510365 23.291016 12.897489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22659867-0.22510365) × R
    0.00149502000000001 × 6371000     		dl = 9524.77242000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22659867-0.22510365) × R
    0.00149502000000001 × 6371000     		dr = 9524.77242000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(0.22659867) × R
    0.00153397999999999 × 0.97443618811023 × 6371000     		do = 9523.15178946757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(0.22510365) × R
    0.00153397999999999 × 0.974770976858286 × 6371000     		du = 9526.42367540946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22659867)-sin(0.22510365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97443618811023-0.974770976858286)×R²
    abs(0.40650491-0.40497093)×0.000334788748056258×R²
    0.00153397999999999×0.000334788748056258×6371000²
    0.00153397999999999×0.000334788748056258×40589641000000     		ar = 90721452.3977973m²