Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2312 / 1773
↖ ↑ ↗
← N 23.483401°
E 23.203125°		 ← 8 963.54 m → N 23.483401°
E 23.291016°		 →
↑
8 966.29 m
↓
↑
8 966.29 m
↓
N 23.402765°
E 23.203125°		 ← 8 969.02 m →
80 394 288 m²		 N 23.402765°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5645751953125 y=0.4329833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5645751953125 × 212)
    floor (0.5645751953125 × 4096)
    floor (2312.5)     		tx = 2312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4329833984375 × 212)
    floor (0.4329833984375 × 4096)
    floor (1773.5)     		ty = 1773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2312 / 1773 ti = "12/2312/1773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2312/1773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2312 ÷ 212
    2312 ÷ 4096     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1773 ÷ 212
    1773 ÷ 4096     		y = 0.432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432861328125 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.421844716656494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421844716656494))-π/2
    2×atan(1.52477173464594)-π/2
    2×0.990329493883406-π/2
    1.98065898776681-1.57079632675     		φ = 0.40986266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40986266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.483401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2312 KachelY 1773 0.40497093 0.40986266 23.203125 23.483401
    Oben rechts KachelX + 1 2313 KachelY 1773 0.40650491 0.40986266 23.291016 23.483401
    Unten links KachelX 2312 KachelY + 1 1774 0.40497093 0.40845530 23.203125 23.402765
    Unten rechts KachelX + 1 2313 KachelY + 1 1774 0.40650491 0.40845530 23.291016 23.402765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40986266-0.40845530) × R
    0.00140735999999997 × 6371000     		dl = 8966.2905599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40986266-0.40845530) × R
    0.00140735999999997 × 6371000     		dr = 8966.2905599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(0.40986266) × R
    0.00153397999999999 × 0.917175559172046 × 6371000     		do = 8963.54443129234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(0.40845530) × R
    0.00153397999999999 × 0.917735460230772 × 6371000     		du = 8969.01633682541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40986266)-sin(0.40845530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917175559172046-0.917735460230772)×R²
    abs(0.40650491-0.40497093)×0.00055990105872683×R²
    0.00153397999999999×0.00055990105872683×6371000²
    0.00153397999999999×0.00055990105872683×40589641000000     		ar = 80394288.4353928m²