Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2312 / 1770
↖ ↑ ↗
← N 23.725012°
E 23.203125°		 ← 8 947.04 m → N 23.725012°
E 23.291016°		 →
↑
8 949.79 m
↓
↑
8 949.79 m
↓
N 23.644524°
E 23.203125°		 ← 8 952.56 m →
80 098 841 m²		 N 23.644524°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5645751953125 y=0.4322509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5645751953125 × 212)
    floor (0.5645751953125 × 4096)
    floor (2312.5)     		tx = 2312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4322509765625 × 212)
    floor (0.4322509765625 × 4096)
    floor (1770.5)     		ty = 1770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2312 / 1770 ti = "12/2312/1770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2312/1770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2312 ÷ 212
    2312 ÷ 4096     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1770 ÷ 212
    1770 ÷ 4096     		y = 0.43212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43212890625 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.42644665902002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42644665902002))-π/2
    2×atan(1.53180481679352)-π/2
    2×0.992437948325196-π/2
    1.98487589665039-1.57079632675     		φ = 0.41407957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41407957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.725012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2312 KachelY 1770 0.40497093 0.41407957 23.203125 23.725012
    Oben rechts KachelX + 1 2313 KachelY 1770 0.40650491 0.41407957 23.291016 23.725012
    Unten links KachelX 2312 KachelY + 1 1771 0.40497093 0.41267480 23.203125 23.644524
    Unten rechts KachelX + 1 2313 KachelY + 1 1771 0.40650491 0.41267480 23.291016 23.644524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41407957-0.41267480) × R
    0.00140477 × 6371000     		dl = 8949.78967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41407957-0.41267480) × R
    0.00140477 × 6371000     		dr = 8949.78967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(0.41407957) × R
    0.00153397999999999 × 0.915487040910553 × 6371000     		do = 8947.04256498268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(0.41267480) × R
    0.00153397999999999 × 0.91605134306373 × 6371000     		du = 8952.55748235275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41407957)-sin(0.41267480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915487040910553-0.91605134306373)×R²
    abs(0.40650491-0.40497093)×0.000564302153177487×R²
    0.00153397999999999×0.000564302153177487×6371000²
    0.00153397999999999×0.000564302153177487×40589641000000     		ar = 80098840.9725m²