Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2312 / 1768
↖ ↑ ↗
← N 23.885838°
E 23.203125°		 ← 8 935.97 m → N 23.885838°
E 23.291016°		 →
↑
8 938.70 m
↓
↑
8 938.70 m
↓
N 23.805450°
E 23.203125°		 ← 8 941.51 m →
79 900 781 m²		 N 23.805450°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5645751953125 y=0.4317626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5645751953125 × 212)
    floor (0.5645751953125 × 4096)
    floor (2312.5)     		tx = 2312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4317626953125 × 212)
    floor (0.4317626953125 × 4096)
    floor (1768.5)     		ty = 1768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2312 / 1768 ti = "12/2312/1768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2312/1768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2312 ÷ 212
    2312 ÷ 4096     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1768 ÷ 212
    1768 ÷ 4096     		y = 0.431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431640625 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429514620595703))-π/2
    2×atan(1.53651155146164)-π/2
    2×0.993841419621626-π/2
    1.98768283924325-1.57079632675     		φ = 0.41688651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41688651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.885838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2312 KachelY 1768 0.40497093 0.41688651 23.203125 23.885838
    Oben rechts KachelX + 1 2313 KachelY 1768 0.40650491 0.41688651 23.291016 23.885838
    Unten links KachelX 2312 KachelY + 1 1769 0.40497093 0.41548348 23.203125 23.805450
    Unten rechts KachelX + 1 2313 KachelY + 1 1769 0.40650491 0.41548348 23.291016 23.805450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41688651-0.41548348) × R
    0.00140302999999997 × 6371000     		dl = 8938.70412999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41688651-0.41548348) × R
    0.00140302999999997 × 6371000     		dr = 8938.70412999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(0.41688651) × R
    0.00153397999999999 × 0.91435407069783 × 6371000     		do = 8935.9700622982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(0.41548348) × R
    0.00153397999999999 × 0.914921279279134 × 6371000     		du = 8941.51338415135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41688651)-sin(0.41548348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91435407069783-0.914921279279134)×R²
    abs(0.40650491-0.40497093)×0.000567208581304102×R²
    0.00153397999999999×0.000567208581304102×6371000²
    0.00153397999999999×0.000567208581304102×40589641000000     		ar = 79900780.665402m²