Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2311 / 1734
↖ ↑ ↗
← N 26.588527°
E 23.115235°		 ← 8 739.43 m → N 26.588527°
E 23.203125°		 →
↑
8 742.41 m
↓
↑
8 742.41 m
↓
N 26.509905°
E 23.115235°		 ← 8 745.43 m →
76 429 955 m²		 N 26.509905°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5643310546875 y=0.4234619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5643310546875 × 212)
    floor (0.5643310546875 × 4096)
    floor (2311.5)     		tx = 2311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4234619140625 × 212)
    floor (0.4234619140625 × 4096)
    floor (1734.5)     		ty = 1734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2311 / 1734 ti = "12/2311/1734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2311/1734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2311 ÷ 212
    2311 ÷ 4096     		x = 0.564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1734 ÷ 212
    1734 ÷ 4096     		y = 0.42333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564208984375 × 2 - 1) × π
    0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40343695} λ = 0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481669967382324))-π/2
    2×atan(1.6187754484338)-π/2
    2×1.01742683437951-π/2
    2.03485366875902-1.57079632675     		φ = 0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2311 KachelY 1734 0.40343695 0.46405734 23.115235 26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 2312 KachelY 1734 0.40497093 0.46405734 23.203125 26.588527
    Unten links KachelX 2311 KachelY + 1 1735 0.40343695 0.46268512 23.115235 26.509905
    Unten rechts KachelX + 1 2312 KachelY + 1 1735 0.40497093 0.46268512 23.203125 26.509905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46405734-0.46268512) × R
    0.00137221999999998 × 6371000     		dl = 8742.41361999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46405734-0.46268512) × R
    0.00137221999999998 × 6371000     		dr = 8742.41361999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40343695-0.40497093) × cos(0.46405734) × R
    0.00153397999999999 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 8739.43342532985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40343695-0.40497093) × cos(0.46268512) × R
    0.00153397999999999 × 0.894857214808168 × 6371000     		du = 8745.42755133635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46405734)-sin(0.46268512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.894857214808168)×R²
    abs(0.40497093-0.40343695)×0.000613336154452471×R²
    0.00153397999999999×0.000613336154452471×6371000²
    0.00153397999999999×0.000613336154452471×40589641000000     		ar = 76429955.3661612m²