Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2310 / 2810
↖ ↑ ↗
← N 75.530136°
W129.243164°		 ← 610.50 m → N 75.530136°
W129.221191°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
N 75.524645°
W129.243164°		 ← 610.73 m →
372 841 m²		 N 75.524645°
W129.221191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141021728515625 y=0.171539306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141021728515625 × 214)
    floor (0.141021728515625 × 16384)
    floor (2310.5)     		tx = 2310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171539306640625 × 214)
    floor (0.171539306640625 × 16384)
    floor (2810.5)     		ty = 2810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2310 / 2810 ti = "14/2310/2810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2310/2810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2310 ÷ 214
    2310 ÷ 16384     		x = 0.1409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2810 ÷ 214
    2810 ÷ 16384     		y = 0.1715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25571875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1715087890625 × 2 - 1) × π
    0.656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06397115004114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25571875} λ = -2.25571875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06397115004114))-π/2
    2×atan(7.87718928122739)-π/2
    2×1.44452294210827-π/2
    2.88904588421653-1.57079632675     		φ = 1.31824956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25571875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.243164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31824956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.530136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2310 KachelY 2810 -2.25571875 1.31824956 -129.243164 75.530136
    Oben rechts KachelX + 1 2311 KachelY 2810 -2.25533525 1.31824956 -129.221191 75.530136
    Unten links KachelX 2310 KachelY + 1 2811 -2.25571875 1.31815372 -129.243164 75.524645
    Unten rechts KachelX + 1 2311 KachelY + 1 2811 -2.25533525 1.31815372 -129.221191 75.524645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31824956-1.31815372) × R
    9.58399999999582e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31824956-1.31815372) × R
    9.58399999999582e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25571875--2.25533525) × cos(1.31824956) × R
    0.000383500000000314 × 0.249870748236604 × 6371000     		do = 610.503826945908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25571875--2.25533525) × cos(1.31815372) × R
    0.000383500000000314 × 0.249963546967422 × 6371000     		du = 610.730560089742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31824956)-sin(1.31815372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249870748236604-0.249963546967422)×R²
    abs(-2.25533525--2.25571875)×9.27987308174394e-05×R²
    0.000383500000000314×9.27987308174394e-05×6371000²
    0.000383500000000314×9.27987308174394e-05×40589641000000     		ar = 372840.806973412m²