Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2308 / 4300
↖ ↑ ↗
← S  8.928487°
W 78.574219°		 ← 4 827.28 m → S  8.928487°
W 78.530273°		 →
↑
4 826.99 m
↓
↑
4 826.99 m
↓
S  8.971897°
W 78.574219°		 ← 4 826.71 m →
23 299 848 m²		 S  8.971897°
W 78.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28179931640625 y=0.52496337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28179931640625 × 213)
    floor (0.28179931640625 × 8192)
    floor (2308.5)     		tx = 2308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52496337890625 × 213)
    floor (0.52496337890625 × 8192)
    floor (4300.5)     		ty = 4300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2308 / 4300 ti = "13/2308/4300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2308/4300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2308 ÷ 213
    2308 ÷ 8192     		x = 0.28173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4300 ÷ 213
    4300 ÷ 8192     		y = 0.52490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28173828125 × 2 - 1) × π
    -0.4365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37137882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.156466040359863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37137882} λ = -1.37137882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156466040359863))-π/2
    2×atan(0.855160558154619)-π/2
    2×0.707482415167042-π/2
    1.41496483033408-1.57079632675     		φ = -0.15583150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37137882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15583150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.928487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2308 KachelY 4300 -1.37137882 -0.15583150 -78.574219 -8.928487
    Oben rechts KachelX + 1 2309 KachelY 4300 -1.37061183 -0.15583150 -78.530273 -8.928487
    Unten links KachelX 2308 KachelY + 1 4301 -1.37137882 -0.15658915 -78.574219 -8.971897
    Unten rechts KachelX + 1 2309 KachelY + 1 4301 -1.37061183 -0.15658915 -78.530273 -8.971897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15583150--0.15658915) × R
    0.000757649999999999 × 6371000     		dl = 4826.98814999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15583150--0.15658915) × R
    0.000757649999999999 × 6371000     		dr = 4826.98814999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37137882--1.37061183) × cos(-0.15583150) × R
    0.000766990000000023 × 0.987882822184733 × 6371000     		do = 4827.28278191211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37137882--1.37061183) × cos(-0.15658915) × R
    0.000766990000000023 × 0.98776495018194 × 6371000     		du = 4826.70680116138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15583150)-sin(-0.15658915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987882822184733-0.98776495018194)×R²
    abs(-1.37061183--1.37137882)×0.000117872002793673×R²
    0.000766990000000023×0.000117872002793673×6371000²
    0.000766990000000023×0.000117872002793673×40589641000000     		ar = 23299847.7734343m²