Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2308 / 1916
↖ ↑ ↗
← N 11.523088°
E 22.851562°		 ← 9 576.07 m → N 11.523088°
E 22.939453°		 →
↑
9 577.52 m
↓
↑
9 577.52 m
↓
N 11.436955°
E 22.851562°		 ← 9 578.99 m →
91 729 039 m²		 N 11.436955°
E 22.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5635986328125 y=0.4678955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5635986328125 × 212)
    floor (0.5635986328125 × 4096)
    floor (2308.5)     		tx = 2308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4678955078125 × 212)
    floor (0.4678955078125 × 4096)
    floor (1916.5)     		ty = 1916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2308 / 1916 ti = "12/2308/1916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2308/1916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2308 ÷ 212
    2308 ÷ 4096     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1916 ÷ 212
    1916 ÷ 4096     		y = 0.4677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4677734375 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.202485463995117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202485463995117))-π/2
    2×atan(1.2244422864935)-π/2
    2×0.885956071889753-π/2
    1.77191214377951-1.57079632675     		φ = 0.20111582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20111582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.523088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2308 KachelY 1916 0.39883500 0.20111582 22.851562 11.523088
    Oben rechts KachelX + 1 2309 KachelY 1916 0.40036899 0.20111582 22.939453 11.523088
    Unten links KachelX 2308 KachelY + 1 1917 0.39883500 0.19961252 22.851562 11.436955
    Unten rechts KachelX + 1 2309 KachelY + 1 1917 0.40036899 0.19961252 22.939453 11.436955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20111582-0.19961252) × R
    0.00150330000000001 × 6371000     		dl = 9577.52430000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20111582-0.19961252) × R
    0.00150330000000001 × 6371000     		dr = 9577.52430000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.40036899) × cos(0.20111582) × R
    0.00153398999999999 × 0.979844288556578 × 6371000     		do = 9576.06750843261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.40036899) × cos(0.19961252) × R
    0.00153398999999999 × 0.980143484657647 × 6371000     		du = 9578.99156697493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20111582)-sin(0.19961252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979844288556578-0.980143484657647)×R²
    abs(0.40036899-0.39883500)×0.000299196101069321×R²
    0.00153398999999999×0.000299196101069321×6371000²
    0.00153398999999999×0.000299196101069321×40589641000000     		ar = 91729039.1562818m²